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    Die Beträge der einzugebenden Zahlen ergeben in der Summe 40.
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    Die Exponentialgleichung (Exponent gesucht!)   bx = a    besitzt die Lösung   x = logb a.

    Gesprochen: "Logarithmus von a zur Basis b"

Ordne die Gleichungen den Lösungen zu und ergänze.

  • (1)   
     
    3x
    =
    12
    (2)   
     
    x
    3
    =
    12
    (3)   
     
    3
    x
    =
    12
    - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
    x
    =
    log
     
     
    löst Gleichung Nr.
    x
    =
     
    löst Gleichung Nr.
    x
    =
     
    löst Gleichung Nr.
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Lernvideo
Exponentialgleichung und Logarithmus
Lernvideo
Logarithmus Rechenregeln

Die Exponentialgleichung (Exponent gesucht!)   bx = a    besitzt die Lösung   x = logb a.

Gesprochen: "Logarithmus von a zur Basis b"

Liegt die Exponentialgleichung in der Form

bT1(x) = bT2(x)    [ T1(x) und T2(x) sind x-Terme ]

vor, so kann x auch ohne Logarithmus gelöst werden. Setze dazu einfach gleich:

T1(x) = T2(x)

Um  logb a ohne Taschenrechner zu ermitteln, muss man fragen: "b hoch wieviel ist a?"

Beispiel: log3 9 = 2, weil 32 = 9

Um logb a zu berechnen, gib in den Taschenrechner ein:

log a : log b

Gleichungen der Art

ef(x) = b

löst man, indem man beide Seiten logarithmiert. Merke dir für den Spezialfall b=1, dass

ln(1)=0.

Beispiel 1
Löse ohne Taschenrechner.
e
2
5x
=
1
 
Beispiel 2
Löse die Gleichung 
e
2x
1
=
7
.
Gleichungen der Art

ln( ... ) = b

löst man, indem man auf beiden Seiten exp anwendet. Merke dir für den Spezialfall b=0, dass

e0=1.

Beispiel
Löse die Gleichung
ln
 
3
11x
=
0
 
ohne Taschenrechner.
Summen und Differenzen von Logarithmen mit gleicher Basis lassen sich zusammenfassen:

logb x + logb y = logb (x · y)

logb x − logb y = logb (x : y)

Achtung: Für Produkte und Quotienten zweier Logarithmen gibt es keine entsprechende Formel!
logb ar = r · logb a
Lassen sich Basis und Argument des Logarithmus als Potenz derselben Basis schreiben, so kann man den Logrithmuswert ohne Taschenrechner bestimmen.
Beispiel
log
4
 
1
8
=
?
Sind in der Gleichung

logb a = c

a oder b gesucht, so übersetzt man sie in die Exponentialgleichung

bc = a

und löst im Fall "b gesucht" noch nach b auf.