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  • Lassen sich Basis und Argument des Logarithmus als Potenz derselben Basis schreiben, so kann man den Logrithmuswert ohne Taschenrechner bestimmen.
TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Bestimme ohne Taschenrechner.

  • log
    8
     
    1
    4
    =
    ?
    Schritt 1/5
    Sowohl Basis als auch Argument lassen sich als Potenz mit Basis schreiben.
    Notizfeld
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Exponentialgleichung und Logarithmus
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Exponentialgleichung und Logarithmus

Kanal: Mathegym
Logarithmus Rechenregeln
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Die Exponentialgleichung (Exponent gesucht!)   bx = a    besitzt die Lösung   x = logb a.

Gesprochen: "Logarithmus von a zur Basis b"

Liegt die Exponentialgleichung in der Form

bT1(x) = bT2(x)    [ T1(x) und T2(x) sind x-Terme ]

vor, so kann x auch ohne Logarithmus gelöst werden. Setze dazu einfach gleich:

T1(x) = T2(x)

Um  logb a ohne Taschenrechner zu ermitteln, muss man fragen: "b hoch wieviel ist a?"

Beispiel: log3 9 = 2, weil 32 = 9

Um logb a zu berechnen, gib in den Taschenrechner ein:

log a : log b

Gleichungen der Art

ef(x) = b

löst man, indem man beide Seiten logarithmiert. Merke dir für den Spezialfall b=1, dass

ln(1)=0.

Beispiel 1
Löse ohne Taschenrechner.
e
2
5x
=
1
 
Beispiel 2
Löse die Gleichung 
e
2x
1
=
7
.
ex und ln(x) kehren sich gegenseitig um. Z.B. gilt
  • e0=1 und ln(1)=0
  • e1=e und ln(e)=1
Allgemein gilt also elnx = ln(ex) = x.
Beispiel
x
2
·
e
x
+
1
3e
x
=
0
Gleichungen der Art

ln(...)=b

löst man, indem man auf beiden Seiten exp anwendet. Merke dir für den Spezialfall b=0, dass

e0=1.

Beispiel
Löse die Gleichung
ln
 
3
11x
=
0
 
ohne Taschenrechner.
Beispiel
Löse die Gleichung:
4
x
1
:
9
=
3
2
x
·
2
x
Summen und Differenzen von Logarithmen mit gleicher Basis lassen sich zusammenfassen:

logb x + logb y = logb (x · y)

logb x − logb y = logb (x : y)

Achtung: Für Produkte und Quotienten zweier Logarithmen gibt es keine entsprechende Formel!
logb ar = r · logb a

Die Regel ist viele Schülern unter "Lasso-Regel" geläufig, da man den Exponenten sozusagen mit einem Lasso einfängt und vor das "r" stellt.

Lassen sich Basis und Argument des Logarithmus als Potenz derselben Basis schreiben, so kann man den Logrithmuswert ohne Taschenrechner bestimmen.
Beispiel
log
4
 
1
8
=
?
Sind in der Gleichung

logb a = c

a oder b gesucht, so übersetzt man sie in die Exponentialgleichung

bc = a

und löst im Fall "b gesucht" noch nach b auf.
Exponentialgleichungen, in denen nur eine Potenz (und sonst kein weiteres x) vorkommt, lassen sich in die Form

aT(x)=b

bringen [mit T(x) ist ein x-Term wie z.B. x+3 gemeint]. Sofern b>0, kann man anschließend auf beiden Seiten den Logarithmus zur Basis a anwenden, womit man die Gleichung

T(x)=logab

erhält, die nach x aufgelöst werden kann.
Beispiel
Löse die Gleichung.
12 000
·
1,06
x
3
=
10
5
Um Summen oder Differenzen von Potenzen (mit x im Exponent) zu vereinfachen, kann man versuchen, mit Hilfe der Potenzregeln gleiche Potenzen herzustellen.
Beispiel
Löse die Exponentialgleichung.
4
x
+
1
=
4
x
1
2
+
7