Lineare Funktionen - rechnerische Bestimmungen

Überprüfung, ob Punkt auf Gerade liegt, Gleichung der Gerade durch zwei Punkte bzw. durch einen Punkt mit vorgegebener Steigung, Berechnung von Nullstellen und Schnittpunkten mehrerer Geraden; Textaufgaben - Lehrplan G8 (12. Klasse)

Hilfe

  • Ist eine Gerade durch zwei Punkte gegeben, so geht man wie folgt vor, um ihre Gleichung, sprich m und t, zu ermitteln:

    1. Bestimme zunächst die Steigung m = Δy / Δx .
    2. Setze dann in die Gleichung y = m·x + t einen der beiden Punkte ein und löse die Gleichung nach t auf.
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Bestimme durch Rechnung die Geradengleichung.

  • g geht durch die Punkte
    P
     
    1
     
    |
     
    −
    2
    3
     
    und Q
     
    1
    3
     
    |
     
    5
     
    .
    g:
     
    y
    =
     
    x
    +
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Eine lineare Funktion mit der Gleichung y = m·x + t ergibt graphisch immer eine Gerade. Dabei ist m die Steigung (zeigt an, wie stark die Gerade steigt oder fällt) und t der y-Achsenabschnitt (zeigt an, wo die Gerade die y-Achse schneidet) der Gerade.

  • Ist m positiv, so steigt die Gerade (von links nach rechts)
  • Ist m negativ, so fällt die Gerade (von links nach rechts)
  • Ist m = 0, so verläuft die Gerade parallel zur x-Achse
Sind zwei Geraden parallel, so besitzen sie dieselbe Steigung.

Sind zwei Geraden g und h zueiandner senkrecht (orthogonal), so erfüllen ihre Steigungen die Gleichung mg · mh = −1.

Um zu überprüfen, ob ein Punkt P(x | y) auf der Geraden liegt, setzt man den x-Wert in den Funktionsterm ein und berechnet den Termwert. Ist das Ergebnis der y-Wert des Punktes, dann liegt der Punkt auf der Geraden.
Beispiel
Liegt der Punkt P auf der Geraden g?
Gerade:
 
y
=
2
·
x
+
5
Punkt:
 
P
 
3
 
|
 
10
Um zu überprüfen, ob ein Punkt (a|b) über, auf oder unter dem Graphen einer Funktion liegt, setzt man a in den Funktionsterm f(x) ein. Der Punkt liegt
  • über dem Graphen, wenn b > f(a)
  • auf dem Graphen, wenn b = f(a)
  • unter dem Graphen, wenn b < f(a)
Beispiel
g: 
y
=
−
1
3
 
x
+
2
3
;        
A
 
2
 
|
 
0
;   
B
 
−
4
 
|
 
2,5
;   
C
 
8
 
|
 
−
3
Gib jeweils an, ob der der Punkt über, auf oder unter der Geraden liegt.
Wenn von einem Punkt auf der Geraden nur die x-Koordinate bekannt ist, erhält man die y-Koordinate, indem man die x-Koordinate in den Funktionsterm einsetzt und den Wert des Funktionsterms berechnet. Das Ergebnis ist die y-Koordinate.

Wenn von einem Punkt auf der Geraden nur die y-Koordinate bekannt ist, erhält man die x-Koordinate, indem man den Funktionsterm gleich der y-Koordinate setzt und die entstehende Gleichung nach x auflöst. Das Ergebnis ist die x-Koordinate.
Beispiel
Die beiden Punkte liegen auf der Geraden. Berechne die fehlenden Werte.
Gerade:
 
y
=
3
·
x
−
1
Punkte:
P
 
−
2
 
|
 
?
Q
 
?
 
|
 
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Ist eine Gerade g durch ihre Steigung m und einen beliebigen Punkt P ∈ g gegeben, so kann man den y-Achsenabschnitt t leicht bestimmen:
  1. Ausgangspunkt ist die Geradengleichung y = m·x + t (für m setze die bekannte Steigung ein).
  2. Setze dann den Punkt P ein, d.h. ersetze x und y durch die Koordinaten von P.
  3. Löse schließlich die Gleichung nach dem gesuchten t auf.
Beispiel
Wo schneidet die Gerade, die durch 
m
=
−
1,6
 und P(2|−0,5) gegeben ist, die y-Achse?
Ist eine Gerade g durch ihren y-Achsenabschnitt t und einen beliebigen Punkt P ∈ g gegeben, so kann man die Steigung m leicht bestimmen:
  1. Ausgangspunkt ist die Geradengleichung y = m·x + t (für t setze den bekannten y-Achsenabschnitt ein).
  2. Setze dann den Punkt P ein, d.h. ersetze x und y durch die Koordinaten von P.
  3. Löse schließlich die Gleichung nach dem gesuchten m auf.
Beispiel
Welche Steigung hat die Gerade, die durch t = 2,5 und P(2 | -0,5) gegeben ist?
Wie lautet die Geradengleichung?
Ist eine Gerade g durch zwei Punkte A(x1|y1) und B(x2|y2) gegeben, so kann man ihre Steigung m so berechnen:
  1. Berechne die Differenz der y-Werte beider Punkte, also Δy = y2 − y1.
  2. Berechne ebenso die Differenz der x-Werte beider Punkte, also Δx = x2 − x1.
  3. Der Bruch Δy / Δx ergibt die Steigung m.
Beispiel
Ermittle die Steigung der Gerade, die durch die Punkte (-1,5 | 2,5) und (0 | -3) geht.

Ist eine Gerade durch zwei Punkte gegeben, so geht man wie folgt vor, um ihre Gleichung, sprich m und t, zu ermitteln:

  1. Bestimme zunächst die Steigung m = Δy / Δx .
  2. Setze dann in die Gleichung y = m·x + t einen der beiden Punkte ein und löse die Gleichung nach t auf.
Beispiel
Ermittle die Gleichung der Geraden g, die durch die Punkte P1(−3|2) und P2(5|−4) geht.
Folgende Ausnahmefälle hinsichtlich der Lage zweier Geraden sind zu beachten:
  • Beide Geraden sind (echt) parallel, haben also keinen Schnittpunkt. Das passiert, wenn beide Geraden dieselbe Steigung, aber unterschiedliche y-Achsenabschnitte haben. In dem Fall lässt sich die Gleichung g(x) = h(x) nicht lösen, es entsteht eine falsche Aussage wie z.B. 1=0.
  • Beide Geraden sind identisch, zu erkennen an derselben Steigung und demselben y-Achsenabschnitt. Die Gleichung g(x) = h(x) beschreibt in diesem Fall eine wahre Aussage wie z.B. 0 = 0, hat also unendlich viele Lösungen.
  • Eine Geraden ist senkrecht, z.B. x = 5; dann kann die andere Gerade sie, wenn überhaupt, nur bei x = 5 schneiden.
  • Eine Geraden ist waagrecht, z.B. y = 5; dann kann die andere Gerade sie, wenn überhaupt, nur in (?|5) schneiden.
Beispiel
f: y
=
1
8
 
x
+
2
     
g: x
=
4
     
h: y
=
3
     
i: y
=
0,125x
Untersuche paarweise, wie die Geraden zueinander liegen und bestimme gegebenenfalls den Schnittpunkt.

Den Schnittpunkt zweier Geraden ermittelt man, indem man ihre Funktionsterme gleichsetzt:

  1. Setze g(x) = h(x) und löse diese Gleichung nach x auf.
  2. Setze den ermittelten x-Wert in g(x) oder h(x) ein, so erhältst du den y-Wert des Schnittpunkts.

Spezialfall: Den Schnittpunkt einer Gerade g mit der x-Achse (y = 0) ermittelt man durch g(x) = 0.

Beispiel
Bestimme durch Rechnung den Schnittpunkt der beiden Geraden g und h mit folgenden Gleichungen:
g
:
y
=
2,1
−
x
3
 
          
 
h
:
y
=
−
4
9
 
x
+
0,9