Tangentenprobleme und Steckbriefaufgaben - Matheaufgaben

Bestimmung von vorgegebenen Steigungen und Tangenten mit Hilfe der Ableitungsfunktion; Steckbriefaufgaben (Diskussion ganzrationaler und rationaler Funktionen) - Lehrplan Nordrhein-Westfalen, Gymnasium G8, 11. Klasse/12. Klasse

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  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level

    Nicht differenzierbar an der Stelle x0 kann z.B. bedeuten, dass der Graph einen Knick aufweist (blau) oder an der Stelle x0 überhaupt nicht definiert ist (rot), wie hier für x0 = -3 illustriert. Im Fall "blau" existieren aber die einseitigen Grenzwerte des Differenzialquotienten ("einseitige Tangentensteigungen"), nämlich 0 (linksseitig) und -3/2 (rechtsseitig).

Welcher Graph Gf passt zur Vorzeichentabelle von f ' (evtl. auch keiner oder mehrere)?

x
<
3
<
x
f ' (x)
+
nicht
definiert
−
 
graphik
 
          
 
 
graphik
 
graphik
 
          
 
 
graphik
                 (Der Graph hat ein "Loch")
  • Nebenrechnung
Checkos: 0 max.
Lernvideo
Anwendung der Ableitung (Teil 1)
Lernvideo
Anwendung der Ableitung (Teil 2)
Lernvideo
Anwendung der Ableitung (Teil 3)

Nicht differenzierbar an der Stelle x0 kann z.B. bedeuten, dass der Graph einen Knick aufweist (blau) oder an der Stelle x0 überhaupt nicht definiert ist (rot), wie hier für x0 = -3 illustriert. Im Fall "blau" existieren aber die einseitigen Grenzwerte des Differenzialquotienten ("einseitige Tangentensteigungen"), nämlich 0 (linksseitig) und -3/2 (rechtsseitig).

Sei T: y = mx + b die Tangente an Gf im Punkt P[x0|f(0)]. Dann gilt:

m = f ´ (x0)

Beispiel
f(x)
=
x
3
+
2x
+
1
 
.
(a) Bestimme die Tangente an Gf an der Stelle x = -1.
(b) Bestimme alle Tangenten an Gf, die parallel sind zu g: y = 7/3 x − 2.
Sei T: y = mx + t die Tangente an Gf im Punkt P[x0|f(0)]. Dann gilt:

m = f ´ (x0)

Beispiel
Gegeben ist die Funktion f
 
x
=
2
x
 
x ≠ 0
 
.
Bestimme den Punkt Q des Graphen Gf, dessen Tangente durch
 
P
 
0
 
|
 
4
3
 
geht.
Gute Anhaltspunkte für eine genaue Zeichnung des Funktionsgraphen liefern folgende Untersuchungen ( Kurvendiskussion):
  • maximale Definitionsmenge
  • Punkt- und Achsensymmetrie
  • Schnittpunkte mit der x-Achse
  • Verhalten in der Umgebung der Definitionslücken
  • Verhalten im Unendlichen
  • relative Extremwerte und Monotonie
Beispiel
f
 
x
=
x
3
−
x
2
−
5x
−
3
Diskutiere hinsichtlich Symmetrie zum Koordinatensystem, Nullstellen, Verhalten im Unendlichen, Extremwerte und Monotonie und skizziere den Graphen.