Hilfe
  • Nicht differenzierbar an der Stelle x0 kann z.B. bedeuten, dass der Graph einen Knick aufweist (blau) oder an der Stelle x0 überhaupt nicht definiert ist (rot), wie hier für x0 = -3 illustriert. Im Fall "blau" existieren aber die einseitigen Grenzwerte des Differenzialquotienten ("einseitige Tangentensteigungen"), nämlich 0 (linksseitig) und -3/2 (rechtsseitig).

Welcher Graph Gf passt zur Vorzeichentabelle von f ' (evtl. auch keiner oder mehrere)?

  • x
    <
    3
    <
    x
    f ' (x)
    +
    nicht
    definiert
     
    graphik
     
              
     
     
    graphik
     
    graphik
     
              
     
     
    graphik
                     (Der Graph hat ein "Loch")
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
    Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.

Nicht differenzierbar an der Stelle x0 kann z.B. bedeuten, dass der Graph einen Knick aufweist (blau) oder an der Stelle x0 überhaupt nicht definiert ist (rot), wie hier für x0 = -3 illustriert. Im Fall "blau" existieren aber die einseitigen Grenzwerte des Differenzialquotienten ("einseitige Tangentensteigungen"), nämlich 0 (linksseitig) und -3/2 (rechtsseitig).

Sei T: y = mx + b die Tangente an Gf im Punkt P[x0|f(0)]. Dann gilt:

m = f ´ (x0)

Beispiel
f
 
x
=
x
3
+
2x
+
1
a) Bestimme die Tangente an Gf an der Stelle 
x
=
1.
b) Bestimme alle Tangenten an Gf, die parallel sind zu 
g: y
=
7
3
 
x
2.
Sei T: y = mx + t die Tangente an Gf im Punkt P[x0|f(0)]. Dann gilt:

m = f ´ (x0)

Beispiel
Gegeben ist die Funktion f
 
x
=
2
x
 
x ≠ 0
 
.
Bestimme den Punkt Q des Graphen Gf, dessen Tangente durch
 
P
 
0
 
|
 
4
3
 
geht.
Beispiel
f
 
x
=
x
3
x
2
5x
3
Diskutiere hinsichtlich Symmetrie zum Koordinatensystem, Nullstellen, Verhalten im Unendlichen, Extremwerte und Monotonie und skizziere den Graphen.

Der Steigungswinkel 0°≤α<180° einer Geraden bezeichnet die Größe des Winkels, um den g gegenüber der x-Achse gedreht ist. Für 0°<α<90° handelt es sich um eine steigende, für 90°<α<180° um eine fallende Gerade.

Die Steigung m einer Geraden und ihr Steigungswinkel α stehen in folgendem Zusammenhang:

m=tan(α)

Beachte: wenn m gegeben und α gesucht ist, rechnet man zunächst tan-1(m) aus. Ist das Ergbnis positiv, hat man damit α ermittelt. Ist es negativ, addiert man noch 180° hinzu.

Beispiel
f
 
x
=
x
·
x
2
2
Berechne den Steigungswinkel der Tangente an 
G
f
 im Punkt P(0,5|?).
Zu jeder Tangente T an Gf im Punkt P(x0|f(x0)) gibt es eine ebenfalls durch P gehende, zu T senkrechte Gerade N. Diese nennt man Normale. Sofern T nicht parallel zur x-Achse verläuft besteht zwischen den Steigungen von T und N folgender Zusammenhang:

mT·mN=−1