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  • Sei T: y = mx + t die Tangente an Gf im Punkt P[x0|f(0)]. Dann gilt:

    m = f ´ (x0)

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In welchem/n Punkt/en des Graphen Gf geht dessen Tangente durch P?

  • f
     
    x
    =
    1
    3
     
    x
    2
     
    und P
     
    1,5|0
    Q
    1
     
     
    |
     
     
    links
    Q
    2
     
     
    |
     
     
    rechts
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Nicht differenzierbar an der Stelle x0 kann z.B. bedeuten, dass der Graph einen Knick aufweist (blau) oder an der Stelle x0 überhaupt nicht definiert ist (rot), wie hier für x0 = -3 illustriert. Im Fall "blau" existieren aber die einseitigen Grenzwerte des Differenzialquotienten ("einseitige Tangentensteigungen"), nämlich 0 (linksseitig) und -3/2 (rechtsseitig).

Sei T: y = mx + b die Tangente an Gf im Punkt P[x0|f(0)]. Dann gilt:

m = f ´ (x0)

Beispiel
f
 
x
=
x
3
+
2x
+
1
a) Bestimme die Tangente an Gf an der Stelle 
x
=
1.
b) Bestimme alle Tangenten an Gf, die parallel sind zu 
g: y
=
7
3
 
x
2.
Sei T: y = mx + t die Tangente an Gf im Punkt P[x0|f(0)]. Dann gilt:

m = f ´ (x0)

Beispiel
Gegeben ist die Funktion f
 
x
=
2
x
 
x ≠ 0
 
.
Bestimme den Punkt Q des Graphen Gf, dessen Tangente durch
 
P
 
0
 
|
 
4
3
 
geht.
Beispiel
f
 
x
=
x
3
x
2
5x
3
Diskutiere hinsichtlich Symmetrie zum Koordinatensystem, Nullstellen, Verhalten im Unendlichen, Extremwerte und Monotonie und skizziere den Graphen.

Der Steigungswinkel 0°≤α<180° einer Geraden bezeichnet die Größe des Winkels, um den g gegenüber der x-Achse gedreht ist. Für 0°<α<90° handelt es sich um eine steigende, für 90°<α<180° um eine fallende Gerade.

Die Steigung m einer Geraden und ihr Steigungswinkel α stehen in folgendem Zusammenhang:

m=tan(α)

Beachte: wenn m gegeben und α gesucht ist, rechnet man zunächst tan-1(m) aus. Ist das Ergbnis positiv, hat man damit α ermittelt. Ist es negativ, addiert man noch 180° hinzu.

Beispiel
f
 
x
=
x
·
x
2
2
Berechne den Steigungswinkel der Tangente an 
G
f
 im Punkt P(0,5|?).
Zu jeder Tangente T an Gf im Punkt P(x0|f(x0)) gibt es eine ebenfalls durch P gehende, zu T senkrechte Gerade N. Diese nennt man Normale. Sofern T nicht parallel zur x-Achse verläuft besteht zwischen den Steigungen von T und N folgender Zusammenhang:

mT·mN=−1