Koordinatengeometrie im Raum - Ebenen in Parameterform - Matheaufgaben

Ebene durch drei Punkte, Ebene durch zwei Geraden, Punkt auf Ebene, besondere Lage zum Koordinatensystem, gegenseitige Lage Ebene - Gerade, Schnittwinkel - Lehrplan Nordrhein-Westfalen, Gymnasium G8, 11. Klasse/12. Klasse

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  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
  • Ist eine Ebene durch drei Punkte A, B, C eindeutig definiert (d.h. die Punkte dürfen nicht alle auf einer Geraden liegen), so kann man z.B. A als Aufpunkt, den Vektor von A nach B als ersten und den Vektor von A nach C als zweiten Richtungsvektor für ihre Gleichung in Parameterform verwenden.

Gib für die Ebene E, die durch die drei Punkte A, B und C geht, eine Gleichung in Parameterform an.

A(-2|3|5), B(1|-4|-1) und C(1|1|-7)
E
:
X
=
5
+
λ
·
−
3
7
+
μ
·
−
3
2
  • Nebenrechnung
Checkos: 0 max.
Ist eine Ebene durch drei Punkte A, B, C eindeutig definiert (d.h. die Punkte dürfen nicht alle auf einer Geraden liegen), so kann man z.B. A als Aufpunkt, den Vektor von A nach B als ersten und den Vektor von A nach C als zweiten Richtungsvektor für ihre Gleichung in Parameterform verwenden.
Beispiel
Gib für die Ebene E, die durch die drei Punkte A(2|0|0), B(1,5|2|0,5) und C(0|0|-2) geht, eine Gleichung in Parameterform an.
Zwei Geraden g und h legen eine Ebene fest, wenn sie
  • sich in einem Punkt schneiden:
In diesem Fall kann man den Aufpunkt von g oder h oder den Schnittpunkt als Aufpunkt der Ebene verwenden sowie die beiden Richtungsvektoren der Geraden als Richtungsvektoren der Ebene.
  • echt parallel sind (d.h. parallel und nicht identisch):
In diesem Fall kann man den Aufpunkt von g oder h als Aufpunkt der Ebene verwenden. Da die Richtungsvektoren beider Geraden linear abhängig sind, verwendet man den Verbindungsvektor zwischen den Aufpunkten beider Geraden als zweiten Richtungsvektor der Ebene.
Beispiel
g
:
X
=
3
5
−
4
+
λ
·
1
0
2
 
     
 
h
:
X
=
2
5
−
6
+
λ
·
−
5
3
3
 
     
 
i
:
X
=
7
9
0
+
λ
·
−
3
0
−
6
Die Ebene E enthält die Geraden g und h, die Ebene F die Geraden g und i. Gib für E und F jeweils eine Gleichung in Parameterform an.
Um zu prüfen, ob der Punkt P auf der Geraden g liegt, setzt man die Koordinaten von P in die Gleichung von E (Parameterform) ein. Sofern sich beide Parameter eindeutig bestimmen lassen, gilt P ∈ E.
Beispiel
Gegeben ist die Ebene E
:
X
=
4
3
−
4
+
λ
·
1
−
2
3
+
μ
·
−
2
1
1
 
.
Prüfe, ob der Punkt P(-1|3|5) auf E liegt.
Eine "besondere Lage zum Koordinatensystem" hat eine Ebene E z.B. dann, wenn
  • sie durch den Ursprung geht und/oder
  • sie parallel zu einer Koordinatenebene ist und/oder
  • sie parallel zu einer Achse verläuft.
Parallele Lagebeziehungen ergeben sich allein aus den beiden Richtungsvektoren der Ebene, für die Frage "echt oder unecht parallel" (UNECHT z.B. dann, wenn E die x1-Achse ENTHÄLT) muss auch der Ortsvektor, der zum Aufpunkt führt (Stützvektor) in die Betrachtung mit einbezogen werden.
Beispiel
Welche besondere Lage im Koordinatensystem haben folgende Ebenen:
E
:
X
=
2
3
−
4
+
λ
·
0
1
−
4
+
μ
·
0
3
0
G
:
X
=
λ
·
1
1
−
1
+
μ
·
0
3
2
I
:
X
=
λ
·
0
1
1
+
μ
·
1
0
0
 
        
 
F
:
X
=
1
1
0
+
λ
·
2
0
0
+
μ
·
0
0
−
1
H
:
X
=
0
0
−
5
+
λ
·
2
3
4
+
μ
·
0
0
1
 
 
 

Eine Gerade g und eine Ebene E sind genau dann parallel, wenn die drei vorkommenden Richtungsvektoren (einer von g und zwei von E) linear abhängig sind.

Abgesehen davon kann man die gegenseitige Lage von E und g einschließlich des evtl. vorhandenen Schnittpunkts S wie folgt ermitteln:

  1. Setze g und E gleich.
  2. Löse, wenn möglich, das entstehende Gleichungssystem (drei Gleichungen, drei unbekannte Parameter).
  3. Setze z.B. das Ergebnis für den g-Parameter in g ein, um S auszurechnen.
Eine Schnittpunkt liegt nur dann vor, wenn sich das Gleichungssystem im zweiten Schritt eindeutig lösen lässt. Andernfalls sind g und E parallel, und zwar
  • echt parallel, wenn es keine Lösung gibt.
  • unecht parallel (E enthält g), wenn sich unendlich viele Lösungen ergeben.
Beispiel
E
:
X
=
2
−
5
−
6
+
λ
 
1
1
0
+
μ
 
2
1
3
 
     
 
g
:
X
=
1
−
2
0
+
λ
 
4
1
3
 
     
 
h
:
X
=
1
−
5
−
9
+
λ
 
0
−
1
3
Überprüfe die Lage der Ebene E zu den Geraden g und h und bestimme, falls vorhanden, den jeweiligen Schnittpunkt.
Für den Winkel α zwischen zwei Vektoren (stelle sie dir in ihren Fußpunkten zusammengelegt vor, 0° ≤ α ≤ 180°) gilt:

cos(α) = Skalarprodukt beider Vektoren : Produkt ihrer Längen

Den Winkel zwischen anderen geometrischen Objekten bestimmt man wie folgt:
  • Sich schneidende Geraden g und h: Bestimme den Winkel zwischen den zugehörigen Richtungsvektoren (Ist dieser > 90°, subtrahiere ihn noch von 180°)
  • Sich schneidende Gerade g und Ebene E: Subtrahiere den Winkel zwischen dem Richtungsvektor von g und dem Normalenvektor von E von 90° (und nimm den Betrag des Ergebnisses, falls nötig)
  • Sich schneidende Ebenen E und F: Bestimme den Winkel zwischen den zugehörigen Normalenvektoren (Ist dieser > 90°, subtrahiere ihn noch von 180°)


Für die Lotgerade g zu einer Ebene E durch einen Punkt P wählt man:
  • P als Aufhängepunkt und
  • den Normalenvektor von E als Richtungsvektor.
Für die Lotebene E zu einer Geraden g durch einen Punkt p wählt man:
  • P als Aufhängepunkt und
  • den Richtungsvektor von g als Normalenvektor.


Spiegelungen von geometrischen Objekten an anderen führt man durch wie folgt:
  • Spiegelung eines Punkts P an einer Geraden g: Bestimme die Lotebene E zu g durch P. Der Schnittpunkt S von E und g ist der Lotfußpunkt. Schließlich addiert man zum Ortsvektor von S den Verbindungsvektor von P und S.
  • Spiegelung eines Punkts P an einer Ebene E: Bestimme die Lotgerade g zu E durch P. Der Schnittpunkt S von E und g ist der Lotfußpunkt. Schließlich addiert man zum Ortsvektor von S den Verbindungsvektor von P und S.
  • Spiegelung einer Geraden g an einer Ebene E: Spiegle zwei Punkte von g an der Ebene E und stelle die Gerade durch die gespiegelten Punkte auf.
  • Spiegelung einer Kugel an einer Ebene E: Spiegle den Mittelpunkt der Kugel an E und übernimm den Radius.