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  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
  • Das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt genannt) zweier Vektoren ist wieder ein Vektor. Hat der erste Faktor die Koordinaten a1, a2 und a3 und der zweite die Koordinaten b1, b2 und b3, so ergeben sich die Koordinaten des Kreuzprodukts nach folgender Rechenvorschrift:

    a2b3 − a3b2

    a3b1 − a1b3

    a1b2 − a2b1

Die Aufgaben aus diesem Level gehen über den Lehrplan hinaus oder sind Zusatzaufgaben.

Berechne. Brüche in der Form "a/b" bzw. "-a/b" eingeben.

2
0,5
6
 
×
 
1
3
5,5
=
  • Nebenrechnung

Das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt genannt) zweier Vektoren ist wieder ein Vektor. Hat der erste Faktor die Koordinaten a1, a2 und a3 und der zweite die Koordinaten b1, b2 und b3, so ergeben sich die Koordinaten des Kreuzprodukts nach folgender Rechenvorschrift:

a2b3 − a3b2

a3b1 − a1b3

a1b2 − a2b1

Beispiel
1
4
5
 
×
 
7
2
3
=
?
Das von zwei Vektoren aufgespannte Parallelogramm besitzt einen Flächeninhalt, der der Länge des Vektorprodukts beider Vektoren entspricht.
Beispiel
Gegeben ist das Dreieck QRS mit den Punkten Q(2|3|-4), R(6|-1|-2) und S(9|-1|2). Bestimme seinen Flächeninhalt.
Das Vektorprodukt zweier Vektoren steht zu diesen beiden senkrecht.
Beispiel
Gegeben sind die Vektoren
 
a
=
1
2
3
 
und
 
b
=
3
1
2
 
.
Bestimme jeweils einen Vektor
 
v
 
, der zu diesen beiden senkrecht steht und
(a) die Länge 3 besitzt.
(b) dessen dritte Koordinate den Wert 1 besitzt.
Ein Spat ("schräge Schuhschachtel") wird von drei Vektoren aufgespannt. Um sein Volumen zu berechnen, gehe wie folgt vor:
  1. Nimm zwei (von den drei aufspannenden Vektoren) und berechne deren Vektorprodukt.
  2. Berechne dann das Skalarprodukt aus dem Ergebnis von (1) und dem dritten Vektor.
  3. Der Betrag davon ist das Spatvolumen.
Das von zwei Vektoren aufgespannte Parallelogramm besitzt einen Flächeninhalt, der der Länge des Vektorprodukts beider Vektoren entspricht.
So kannst du auch andere Flächeninhalte berechnen:
  • Das von zwei Vektoren aufgespannte Dreieck besitzt einen Flächeninhalt, der der Hälfte der Länge des Vektorprodukts beider Vektoren entspricht.
  • Die Flächeninhalte anderer n-Ecke lassen sich durch vorherige Zerlegung des n-Ecks in Dreiecke berechnen.


Ein Spat ("schräge Schuhschachtel") wird von drei Vektoren aufgespannt. Um sein Volumen VSpat zu berechnen, gehe wie folgt vor:
  1. Nimm zwei (von den drei aufspannenden Vektoren) und berechne deren Vektorprodukt.
  2. Berechne dann das Skalarprodukt aus dem Ergebnis von (1) und dem dritten Vektor.
  3. Der Betrag davon ist das Spatvolumen.

Mit dieser Vorgehensweise kannst du den Rauminhalt weiterer geometrischer Körper bestimmen:
  • Vierseitiges Prisma = Spat (V4-stg.Prisma = VSpat)
  • Dreiseitiges Prisma = halber Spat (V3-stg.Prisma = ½ VSpat)
  • Vierseitige Pyramide (V4-stg.Pyr = 1/3 VSpat)
  • Dreiseitige Pyramide (V3-stg.Pyr = 1/6 VSpat)