BMT 8 - 2007 - Matheaufgaben

Bayerischer Mathematiktest für Gymnasien, 8. Jahrgangsstufe, Schuljahr 2007/2008; prüft Basiswissen bis einschließlich Klasse 7 - Lehrplan Bayern, Gymnasium, 8. Klasse

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Hilfe
  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
    Prozent von Größe heißt Prozent mal Größe. Wandle also den Prozentsatz in einen Bruch oder Dezimalbruch um und multipliziere diesen mit der Größe. Heraus kommt wieder eine Größe.

Aufgabe 1 (1 Punkt)

graphik
Für eine Ausstellung über Bayern soll auf einem großen Werbebanner die Statue der Bavaria abgebildet werden. Als Bildmotiv wird nebenstehendes Foto so vergrößert, dass es 20 m hoch ist. Welche Gesamthöhe hat dann die Statue auf dem Werbebanner (ohne Sockel gemessen)? Der Lösungsweg muss nachvollziehbar sein.
Kreuze richtig an: Für die Berechnung der Höhe benötigt man
 
die Höhe des Fotos (5 cm)     
 
 
die Höhe der Bavaria auf dem Foto (4cm).
Durch Rechnung kommt man dann auf
 
14m
 
     
 
 
15m
 
     
 
 
16m
 
     
 
 
17m.
Quelle: Bayerischer Mathematiktest, Klasse 8, 2007
  • Nebenrechnung
Checkos: 0 max.
Prozent von Größe heißt Prozent mal Größe. Wandle also den Prozentsatz in einen Bruch oder Dezimalbruch um und multipliziere diesen mit der Größe. Heraus kommt wieder eine Größe.
Ein Kreisdiagramm enthält unterschiedlich große Sektoren ("Kuchenstücke"), deren Winkel man Mittelpunktswinkel nennt. Deren Summe (360°) entspricht der Summe der dargestellten Bruchteile.

Ein Säulendiagramm enthält unterschiedlich hohe Säulen. Die Summe der Höhen entspricht der Summe der dargestellten Bruchteile.

Setzt sich ein Zufallsexperiment aus mehreren Stufen zusammen (z.B. drei mal hintereinander Würfeln oder sechs Kugeln hintereinander aus einer Urne ziehen) so lässt sich die Mächtigkeit der Ergebnismenge mit dem sogenannten Zählprinzip bestimmen. Hier ein Beispiel bei einem vierstufigen Experiment:

1. Stufe: 8 Möglichkeiten
2. Stufe: 7 Möglichkeiten
3. Stufe: 6 Möglichkeiten
4. Stufe: 5 Möglichkeiten
Dann gibt es insgesamt 8⋅7·6·5 = 1680 Möglichkeiten.

Oft entstehen hierbei Produkte der Art n·(n-1)·(n-2)·...·2·1; dafür gibt es die abkürzende Schreibweise n! ("n-Fakultät").

Flächen werden üblicherweise in folgenden Einheiten angegeben:
  • mm²
  • cm² (=100 mm²)
  • dm² (=100 cm²)
  • m² (=100 dm²)
  • a (=100 m²)
  • ha (=100 a)
  • km² (=100 ha)
Die Umrechnungszahl ist ausnahmslos 100 (bei Längen dagegen 10).
Die Kongruenz zweier Dreiecke erkennt man nicht immer sofort. Auf sein Augenmaß darf man sich außerdem auch nicht verlassen. Am sichersten lässt sich die Kongruenz zweier Dreiecke mit Hilfe der sog. Kongruenzsätze feststellen. Zwei Dreiecke sind demnach kongruent, wenn

  • sie in allen drei Seiten übereinstimmen (SSS).
  • sie in einer Seite und zwei zu dieser Seite gleich liegenden Winkeln übereinstimmen (WSW bzw. SWW).
  • sie in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen (SWS).
  • sie in zwei Seiten und dem Winkel, der der größeren Seite gegenüberliegt, übereinstimmen (SsW).
Die Grundgleichung der Prozentrechnung lautet:

PS · GW = PW

PS = Prozentsatz
GW = Grundwert
PW = Prozentwert

Distributivgesetz:

a · (b + c ) = a · b + a · c    ("Klammer ausmultiplizieren")

(a + b ) : c = a : c + b : c

Statt + kann man auch − einsetzen, d.h. das Distributivgesetz gilt für Summen wie auch für Differenzen, die mit einer Zahl multipliziert oder durch eine Zahl dividiert werden.

Zwei Produkte, in denen dieselben Variablen in derselben Potenz auftreten, heißen gleichartig.

Nur gleichartige Produkte können durch Addition und Subtraktion zusammengefasst werden. Dabei werden die zugehörigen Zahlen addiert/subtrahiert ("Äpfel mit Äpfeln und Birnen mit Birnen").

Ein Trapez mit den parallelen Seiten a und c und der Höhe h hat den Flächeninhalt

A = ½ · (a + c) · h

Achte bei der Rechnung darauf, dass alle Größen in derselben Einheit angegeben sind (evtl. umwandeln!)