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  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
  • Eine Funktionenschar ist gegeben durch eine Funktionsgleichung mit (mindestens) einem Parameter. Jeder Parameterwert liefert eine spezielle Funktion. Insofern ist durch die Gleichung der Funktionenschar eine Menge an Kurven gegeben.

    Mit der Funktionsgleichung der Schar kann man rechnen, wie mit einer Funktionsgleichung ohne Parameter (Punkt-Koordinaten einsetzen, ableiten, ...). Der Parameter wird dabei behandelt wie eine Zahl.

Zeichne die Graphen für a = 0, 1, 2 und 3 mit dem GTR und kreuze dann richtig an. Bei Bedarf kannst du auch noch mehr Graphen der Schar zeichnen.

f
a
x
=
x
2
+
ax
Richtig ist...
 
Alle Graphen gehen durch den Punkt (0/0)
 
Die Parabel kann nach oben oder nach unten geöffnet sein
 
Je größer a desto weiter rechts liegt der Scheitel
 
Je größer a desto weiter links liegt der Scheitel
  • Nebenrechnung

Lernvideo
Ganzrationale Funktionenschar vom Grad 3, Parameterbestimmungen

Eine Funktionenschar ist gegeben durch eine Funktionsgleichung mit (mindestens) einem Parameter. Jeder Parameterwert liefert eine spezielle Funktion. Insofern ist durch die Gleichung der Funktionenschar eine Menge an Kurven gegeben.

Mit der Funktionsgleichung der Schar kann man rechnen, wie mit einer Funktionsgleichung ohne Parameter (Punkt-Koordinaten einsetzen, ableiten, ...). Der Parameter wird dabei behandelt wie eine Zahl.

Beispiel 1
Beschreibe die Funktionenscharen f
b
x
=
x
+
b und g
a
x
=
ax
2
Beispiel 2
Bestimme alle Extremstellen der Funktionenschar f
a
x
=
x
3
ax
2
+
a
2
 
in Abhängigkeit vom Scharparameter a (a>0)

Eine Kurve, auf der alle Punkte einer Funktionenschar liegen, die eine bestimmte Eigenschaft erfüllen, wird als Ortskurve bezeichnet.

Sind die Koordinaten der betrachteten Punkte (z.B. Hoch- oder Tiefpunkte) in Abhängigkeit von einem Parameter a gegeben, erhält man die Gleichung der Ortskurve in zwei Schritten:

  • Auflösen der x-Koordinatengleichung nach a
  • Einsetzen in die y-Koordinatengleichung
Beispiel
Bestimme die Ortskurve der Scheitelpunkte der Funktionenscharen
f
a
x
=
x
2
+
a und
g
a
x
=
x
2
ax
+
1
4
 
a
2
+
1
4
 
a