Funktionenscharen

Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen einer Funktionenschar; Ableitung in Abhängigkeit vom Scharparameter; charakteristische Punkte einer Funktionenschar in Abhängigkeit vom Scharparameter. - Lehrplan für 11.-12. Klasse

Hilfe
  • Behandle den Parameter beim Ableiten wie eine konstante Zahl.

Bestimme die erste Ableitung in Abhängigkeit des Scharparameters a und gib sie vereinfacht an. Variablenpotenzen sind in der Form a^n anzugeben.

  • f
    a
     
    x
    =
    3x
    6
    −
    5a
    2
    x
    4
    +
    a
    3
    f
    a
    '
     
    x
    =
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Ganzrationale Funktionenschar vom Grad 3, Parameterbestimmungen
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Ganzrationale Funktionenschar vom Grad 3, Parameterbestimmungen

Kanal: Mathegym

Eine Funktionenschar ist gegeben durch eine Funktionsgleichung mit (mindestens) einem Parameter. Jeder Parameterwert liefert eine spezielle Funktion. Insofern ist durch die Gleichung der Funktionenschar eine Menge an Kurven gegeben.

Mit der Funktionsgleichung der Schar kann man rechnen wie mit einer Funktionsgleichung ohne Parameter (Punkt-Koordinaten einsetzen, ableiten, ...). Der Parameter wird dabei behandelt wie eine Zahl.

Beispiel 1
Beschreibe die Funktionenscharen f
b
x
=
x
+
b und g
a
x
=
ax
2
Beispiel 2
Bestimme alle Extremstellen der Funktionenschar f
a
x
=
x
3
−
ax
2
+
a
2
 
in Abhängigkeit vom Scharparameter a (a>0)
Zu jedem Einzelgraphen einer Funktionenschar fk lässt sich der passende Parameterwert von k ermitteln, indem man einen gut ablesbaren Punkt auf dem Graphen in die Funktionsgleichung einsetzt und diese nach k auflöst.
Die Schar aller Tangenten an einen Funktionsgraphen im Punkt (a|f(a)) kann durch eine Funktionsgeichung angegeben werden. Zur Ermittlung dieser Funktionsgleichung geht man genauso vor wie bei einer einzelnen Tangente. Der einzige Unterschied besteht darin, dass man mit allgemeinen Koordinaten a und f(a) rechnen muss statt mit festen Werten.
Beispiel
f
 
x
=
x
3
−
2x
+
1
Bestimme die Gleichung für die Schar der Tangenten 
T
a
 an 
G
f
 im Punkt (a|f(a)).
graphik

Eine Kurve, auf der alle Punkte einer Funktionenschar liegen, die eine bestimmte Eigenschaft erfüllen, wird als Ortskurve bezeichnet.

Sind die Koordinaten der betrachteten Punkte (z.B. Hoch- oder Tiefpunkte) in Abhängigkeit von einem Parameter a gegeben, erhält man die Gleichung der Ortskurve in zwei Schritten:

  • Auflösen der x-Koordinatengleichung nach a
  • Einsetzen in die y-Koordinatengleichung
Beispiel
Bestimme die Ortskurve der Scheitelpunkte der Funktionenscharen
f
a
x
=
x
2
+
a und
g
a
x
=
x
2
−
ax
+
1
4
 
a
2
+
1
4
 
a