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Hilfe
  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
    Setze an mit f ´(x) ≥ 0.

Ermittle die Monotonieintervalle der Funktion f.

f
 
x
=
3x
2
5x
+
1
 
   (ID = IR)
Monoton steigend für x∈
   
 
IR   
 
]-∞;-1,2]   
 
]-∞;
5
6
]   
 
[1,2;
5
6
]   
 
[1,2;∞[   
 
[
5
6
;∞[
Monoton fallend für x∈
   
 
IR   
 
]-∞;-1,2]   
 
]-∞;
5
6
]   
 
[1,2;
5
6
]   
 
[1,2;∞[   
 
[
5
6
;∞[
  • Nebenrechnung

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Lernvideo
Anwendung der Ableitung (Teil 1)
Lernvideo
Anwendung der Ableitung (Teil 2)
Lernvideo
Anwendung der Ableitung (Teil 3)

Ist f in einer Umgebung von x0 differenzierbar und besitzt Gf an der Stelle x0 eine waagrechte Tangente, d.h. also f ´ (x0) = 0, so befindet sich dort entweder ein Hoch-, ein Tief- oder ein Terrassenpunkt. Was genau, verrät der Vorzeichenverlauf von f ´:
  • "−,0,+" bedeutet für Gf "fallend,waagrecht,steigend", also Tiefpunkt (relatives Minimum von f)
  • "+,0,−" bedeutet für Gf "steigend,waagrecht,fallend", also Hochpunkt (relatives Maximum von f)
  • "−,0,−" bedeutet für Gf "fallend,waagrecht,fallend", also Terrassenpunkt
  • "+,0,+" bedeutet für Gf "steigend,waagrecht,steigend", also ebenfalls Terrassenpunkt

Die Ableitung f´ einer differenzierbaren Funktion f liefert für jede definierte Stelle x die lokale Änderungsrate (= Steigung des Graphen von f an dieser Stelle). Insbesondere zeigt das Vorzeichen von f ´ an, ob f im betrachteten Intervall zunimmt oder abnimmt:

f ´(x) f bzw. Gf
> 0 streng monoton zunehmend bzw. wachsend
< 0 streng monoton abnehmend bzw. fallend
= 0 waagrechte Tangente
Beispiel
Bestimme die Monotonieintervalle der ganzrationalen Funktion f aufgrund der gegebenen ersten Ableitung.
f '
 
x
=
1
3
·
x
3
·
x
+
5

Nicht differenzierbar an der Stelle x0 kann z.B. bedeuten, dass der Graph einen Knick aufweist (blau) oder an der Stelle x0 überhaupt nicht definiert ist (rot), wie hier für x0 = -3 illustriert. Im Fall "blau" existieren aber die einseitigen Grenzwerte des Differenzialquotienten ("einseitige Tangentensteigungen"), nämlich 0 (linksseitig) und -3/2 (rechtsseitig).

Sei T: y = mx + t die Tangente an Gf im Punkt P[x0|f(0)]. Dann gilt:

m = f ´ (x0)

Beispiel 1
f
 
x
=
x
3
+
2x
+
1
 
.
(a) Bestimme die Tangente an Gf an der Stelle x = -1.
(b) Bestimme alle Tangenten an Gf, die parallel sind zu g: y = 7/3 x − 2.
Beispiel 2
Gegeben ist die Funktion f
 
x
=
2
x
 
x ≠ 0
 
.
Bestimme den Punkt Q des Graphen Gf, dessen Tangente durch
 
P
 
0
 
|
 
4
3
 
geht.
Gute Anhaltspunkte für eine genaue Zeichnung des Funktionsgraphen liefern folgende Untersuchungen ( Kurvendiskussion):
  • maximale Definitionsmenge
  • Punkt- und Achsensymmetrie
  • Schnittpunkte mit der x-Achse
  • Verhalten in der Umgebung der Definitionslücken
  • Verhalten im Unendlichen
  • relative Extremwerte und Monotonie
Beispiel
f
 
x
=
x
3
x
2
5x
3
Diskutiere hinsichtlich Symmetrie zum Koordinatensystem, Nullstellen, Verhalten im Unendlichen, Extremwerte und Monotonie und skizziere den Graphen.