06.3 Bruchgleichungen (BK-KK-SG) - Mathematikaufgaben

Lösung mittels Graf, kreuzweiser Multiplikation bzw. Multiplikation mit dem Hauptnenner; Einschränkungen für x und Proberechnung; Textaufgaben - gemäß Lehrplan

Hilfe
  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
  • Bei einer Bruchgleichung kommt die Variable x auch im Nenner vor. Um zu verhindern, dass sich im Nenner die Zahl 0 ergibt, müssen evtl. bestimmte Werte für x ausgeschlossen werden.

Welche x-Werte dürfen ungeachtet der Gleichung für x nicht eingesetzt werden?

  • 2x
    −
    4
    1
    +
    x
    =
    x
    −
    1
    5
    −
    2x
    Nicht definiert ist:
    x
    =
    2
    x
    =
    −
    1
    x
    =
    1
    x
    =
    2,5
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Lernvideo
Bruchgleichungen einfach erklärt – einfache Bruchgleichung lösen
Bei einer Bruchgleichung kommt die Variable x auch im Nenner vor. Um zu verhindern, dass sich im Nenner die Zahl 0 ergibt, müssen evtl. bestimmte Werte für x ausgeschlossen werden.
Beispiel
Welche x-Werte gehören bei folgender Gleichung nicht zur Grundmenge?
3
x
−
1
=
5
−
x
2x
+
3

Bruchgleichungen, bei denen im Zähler kein x steht, kann man lösen, indem man auf beiden Seiten den Kehrwert bildet, also Zähler und Nenner jeweils miteinander vertauscht.

Beispiel
5
3x
−
2
=
1
4
Hat man für eine Bruchgleichung eine Lösung ermittelt, sollte man sie noch einmal überprüfen:
  1. Im Nenner darf sich nicht Null ergeben
  2. Eingesetzt in die Gleichung ergibt sich eine wahre Aussage (z.B. 3 = 3)
Bruchgleichungen der Art a / b = c / d löst man durch Überkreuzmultiplizieren: man multipliziert dabei den linken Zähler mit dem rechten Nenner und den rechten Zähler mit dem linken Nenner und setzt beide Produkte gleich.

Auch bei komplizierteren Bruchgleichungen geht man so vor, dass man die Gleichung zunächst nennerfrei macht. Das gelingt, indem man beide Seiten mit dem Produkt aller auftretenden Nennerterme bzw. mit ihrem gemeinsamen Vielfachen ("Hauptnenner") multipliziert.

Beispiel 1
Löse die Gleichung:
3x
−
1
2x
+
3
=
−
6x
2
−
4x
Beispiel 2
5
+
7x
−
2
4x
−
6
=
2x
9
−
6x