13.3 Koordinatengeometrie im Raum - Geraden (KK-SG) - Matheaufgaben

Geradengleichung in Parameterform, parallele und senkrechte Geraden, Punkt auf Gerade, Spurpunkte, Verlauf durch Oktanden, besondere Lage zum Koordinatensystem, gegenseitige Lage von zwei Geraden - Lehrplan Baden-Württemberg, berufliches Gymnasium, 12. Klasse/13. Klasse

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Hilfe
  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
  • Um die Gerade g durch die Punkte A und B in Parameterform darzustellen, kann man z.B.
    • A oder B als Aufpunkt und
    • den Verbindungsvektor von A nach B als Richtungsvektor verwenden.

Vervollständige die Parametergleichung der Geraden, die durch die beiden angegebenen Punkte geht.

A(1|1|-4), B(2|-2|4)
AB
:
X
=
1
+
μ
·
1
  • Nebenrechnung
Checkos: 0 max.
Um die Gerade g durch die Punkte A und B in Parameterform darzustellen, kann man z.B.
  • A oder B als Aufpunkt und
  • den Verbindungsvektor von A nach B als Richtungsvektor verwenden.
Beispiel
Gib die Gerade g = AB in Parameterform an mit A(1|-1|2) und B(-2|5|5).
Bei einer Gleichung in Parameterform wird der Ortsvektor zu einem Aufpunkt (Stützvektor) und ein Richtungsvektor der Geraden angegeben. Der Ortsvektor "verankert" die Gerade im Koordinatensystem, der Richtungsvektor gibt ihre Richtung vor. Weder der Orts- noch der Richtungsvektor sind eindeutig festgelegt.
Beispiel
Gegeben ist die Gerade g
:
X
=
2
2
−
3
+
μ
·
−
1
1
2
 
.
(a) Gib für g eine andere Gleichung in Parameterform an, die weder im Ortsvektor noch im Richtungsvektor mit der Gleichung oben übereinstimmt.
(b) Gib eine Gleichung an für die Gerade h, die parallel zu g ist und durch den Punkt (1|2|-5) geht.
(c) Gib eine Gleichung an für eine Gerade i, die senkrecht zu g steht und g in einem beliebigen Punkt schneidet.)
Um zu prüfen, ob der Punkt P auf der Geraden g liegt, setzt man die Koordinaten von P in die Gleichung von g (Parameterform) ein. Sofern sich der Parameter eindeutig bestimmen lässt, gilt P ∈ g.
Beispiel
Gegeben ist die Gerade g
:
X
=
1
−
1
5
+
μ
·
−
3
4
2
 
.
Prüfe, ob die Punkte P(-1|3|5) und Q(3|-5|2) auf g liegen.
Um den evtl. Schnittpunkt (Spurpunkt) einer Geraden mit der x1x2-Ebene zu bestimmen, muss man innerhalb der Geradengleichung (Parameterform) x3 = 0 setzen.

Entsprechend setzt man x1 = 0, um den Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene zu bestimmen und x2 = 0 für den Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene.

Beispiel
Gegeben ist die Gerade g
:
X
=
1,5
−
1,5
1
+
μ
·
−
1
3
2
 
.
Bestimme sämtliche Schnittpunkte mit den Koordinatenebenen.
Um zu ermitteln, durch welche Oktanden eine Gerade verläuft, sollten zunächst die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenebenen) bestimmt werden.
Beispiel
Durch welche Oktanden verläuft die Gerade
 
g
:
X
=
1
5
0
+
μ
·
2
3
−
4
 
?
Eine "besondere Lage zum Koordinatensystem" hat eine Gerade g z.B. dann, wenn
  • sie durch den Ursprung geht und/oder
  • sie parallel zu einer Koordinatenebene ist und/oder
  • sie parallel zu einer Achse verläuft oder
  • ihre Punkte zu zwei Achsen denselben Abstand haben oder
  • ihre Punkte zu allen drei Achsen denselben Abstand haben.
Parallele Lagebeziehungen ergeben sich allein aus dem Richtungsvektor von g, für die Frage "echt oder unecht parallel" (UNECHT z.B. dann, wenn g in der x12-Ebene ENTHALTEN ist) muss auch der Ortsvektor, der zum Aufpunkt führt (Stützvektor) in die Betrachtung mit einbezogen werden.
Beispiel
Welche besondere Lage im Koordinatensystem haben folgende Geraden:
g
:
X
=
2
3
−
4
+
μ
·
1
0
−
4
k
:
X
=
1
−
2
3
+
μ
·
0
0
3
 
     
 
h
:
X
=
μ
·
1
1
1
l
:
X
=
μ
·
0
1
1
 
     
 
i
:
X
=
μ
·
1
3
0
m
:
X
=
μ
·
2
7
9
Um zwei Geraden g und h hinsichtlich ihrer Lage zueinander zu untersuchen, betrachtet man zunächst ihre Richtungsvektoren.
  • Sind diese linear abhängig, so sind g und h identisch oder parallel zueinander. Zur Unterscheidung prüft man, ob z.B. der Aufpunkt von g auf h liegt (wenn ja:identisch, ansonsten echt parallel).
  • Sind die Richtungsvektoren linear unabhängig, so setzt man beide Geraden gleich und betrachtet das entstehende Gleichungssystem (drei Gleichungen, zwei unbekannte Parameter). Lässt es sich eindeutig lösen, so schneiden sich g und h in einem Punkt S. Andernfalls (unlösbar) liegen g und h windschief zueinander.
Beispiel
g
:
X
=
1
−
1
5
+
μ
·
−
3
4
2
 
     
 
h
:
X
=
1
3
−
2
+
μ
·
6
8
−
4
i
:
X
=
0
−
3
14
+
μ
·
1
−
2
1
 
     
 
k
:
X
=
−
2
3
7
+
μ
·
2
−
8
3
−
4
3
Untersuche, wie die Gerade g zu den anderen Geraden liegt.
Eine Geradengleichung lässt sich auch dann aufstellen, wenn keine festen Koordinaten vorgegeben sind. Alle weiteren Rechnungen erfolgen dann mit Hilfe der verwendeten Platzhalter (Buchstaben).
Beispiel
Gegeben ist eine Pyramide durch die Punkte A, B, C und S (siehe Skizze). D und E sind Seitenmitten.
  1. Bestimme für die Gerade DE eine Gleichung in Parameterform, wobei diese nur mit A, B, C und S ausgedrückt werden soll.
  2. Zeige, dass DE parallel zur Grundfläche der Pyramide verläuft.
Der Strahlensatz soll bei dieser Aufgabe NICHT angwandt werden.
Skizze:
 
graphik