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05.1 Quadratische Funktionen - Scheitel und Extremwert (BK-KK-SG) - Matheaufgaben
Minimum und Maximum anhand von Grafiken ablesen können; Extremwertaufgaben/Optimierungsaufgaben - Lehrplan
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Steht vor dem Quadrat ein negativer Faktor, so ist die Parabel nach unten geöffnet.
Ersetzt man x² z.B. durch (x − 2)², so verschiebt sich die Parabel um 2 nach rechts.
Der Scheitelpunkt einer Parabel gibt an, wo die zugehörige Funktion ein Maximum/Minimum hat und wie groß dieses ist. Wenn x
S
die x-Koordinate und y
S
die y-Koordinate des Scheitels ist, so hat die Funktion an der Stelle x
S
das Maximum bzw. Minimum y
S
.
Bei einer nach oben geöffneten Parabel liegt ein Minimum, bei einer nach unten geöffneten Parabel ein Maximum vor.
Bestimme Art, Größe und Lage des Extremwertes.
T
x
=
x
+
3
2
−
5
?
Maximum
Minimum
?
3
−3
5
−5
für
?
x=3
x=−3
x=5
x=−5
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Stoff zum Thema
Der Scheitelpunkt einer Parabel gibt an, wo die zugehörige Funktion ein Maximum/Minimum hat und wie groß dieses ist. Wenn x
S
die x-Koordinate und y
S
die y-Koordinate des Scheitels ist, so hat die Funktion an der Stelle x
S
das Maximum bzw. Minimum y
S
.
Bei einer nach oben geöffneten Parabel liegt ein Minimum, bei einer nach unten geöffneten Parabel ein Maximum vor.
Weiß man, dass eine Parabel die x-Achse an den Stellen x
1
und x
2
schneidet, so kann man ihren Scheitel S leicht bestimmen:
x
S
= (x
1
+ x
2
) : 2
Begründung: x
S
(also die x-Koordinate des Scheitels) liegt aus Symmetriegründen genau in der Mitte des Intervalls [x
1
; x
2
]
y
S
= p(x
S
)
d.h. die y-Koordinate erhält man durch Einsetzen von x
S
in den Funktionsterm der Parabel
Beispiel
Die Parabel mit der Gleichung
y
=
−
3x
2
−
2x
+
1
schneidet die x-Achse an den Stellen
x
1
=
−
1
und
x
2
=
1
3
. Bestimme die Koordinaten des Scheitelpunkts.
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