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Hilfe
  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
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  • Der Graph der Funktion y = a·sin[b·(x + c)] ; b>0 entsteht aus der normalen Sinuskurve durch folgende Schritte:
    • Streckung in x-Richtung; die Periode ergibt sich durch 2π/b, vergößert sich also für b < 1 und verkleinert sich für b > 1
    • Verschiebung in x-Richtung um |c|; bei negativem Wert nach rechts, ansonsten nach links;
    • Streckung in y-Richtung mit dem Faktor |a|; zusätzlich Spiegelung an der x-Achse, wenn a negativ ist;
    Für den Kosinus gelten die selben Gesetzmäßigkeiten.

Bedingung:
  • a > 0
  • b > 0
  • -½ Periode ≤ c < ½ Periode
Bestimme die Parameter so, dass der Funktionsterm zum Graph passt. Evtl. auftretende Brüche sind in der Form "p/q" bzw. "-p/q" einzutragen.

graphik
y
=
a
·
cos
 
b
·
x
+
c
a
=
b
=
c
=
·
π
Achtung: damit die Lösung eindeutig ist, sind ganz oben Bedingungen für a, b und c gefordert. Wenn diese Bedingungen nicht erfüllt sind, wird deine Lösung (selbst wenn sie zu dem Graphen passt) nicht akzeptiert.
  • Nebenrechnung

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Allgemeine Sinusfunktion

Durch bestimmte Vorfaktoren lassen sich Amplitude und Periode der normalen Sinuskurve verändern. Amplitude beschreibt die Ausprägung in y-Richtung, normalerweise beträgt sie 1. Unter Periode versteht man die Länge des Intervalls, indem sich der Graph nicht wiederholt, normalerweise beträgt diese 2π. Gegenüber der normalen Sinuskurve (Kosinus analog) ist der Graph der Funktion
  • y = a·sin(x) in y-Richtung gestreckt (|a| > 1) bzw. gestaucht (|a| < 1). Ist a negativ, erscheint der Graph zudem an der x-Achse gespiegelt.
  • y = sin(b·x), b>0, in x-Richtung gestreckt (0 < b < 1) bzw. gestaucht (b > 1). Ihre Periode ergibt sich aus 2π / b.
Gegenüber der normalen Sinuskurve (Kosinus analog) ist der Graph der Funktion
  • y = sin(x + c) in x-Richtung nach rechts (c < 0) bzw. links (c > 0) verschoben.
  • y = sin(x) + d in y-Richtung nach oben (d > 0) bzw. unten (d < 0) verschoben.
Beispiel
Gib die zum Graph passende Funktionsgleichung an:
graphik
 
          
 
y
=
sin
x
?
?
Der Graph der Funktion y = a·sin[b·(x + c)] ; b>0 entsteht aus der normalen Sinuskurve durch folgende Schritte:
  • Streckung in x-Richtung; die Periode ergibt sich durch 2π/b, vergößert sich also für b < 1 und verkleinert sich für b > 1
  • Verschiebung in x-Richtung um |c|; bei negativem Wert nach rechts, ansonsten nach links;
  • Streckung in y-Richtung mit dem Faktor |a|; zusätzlich Spiegelung an der x-Achse, wenn a negativ ist;
Für den Kosinus gelten die selben Gesetzmäßigkeiten.
Die Funktion f(x) = a·sin(b·x); b>0 bzw. deren Graph besitzt:
  • die Amplitude |a|,
  • die Periode 2π / b
  • und damit folgende Nullstellen: außer 0 die halbe Periode und alle (positiven wie negativen) Vielfachen davon.
Für den Kosinus gelten bzgl. Amplitude und Periode dieselben Gesetzmäßigkeiten; das Rezept für die Nullstellen lautet hier: Nimm eine viertel Periode und addiere dazu (bzw. ziehe ab) eine halbe Periode (bzw. Vielfache davon).