11.3 Integral - Flächenberechnung (BK-KK-SG) - Aufgaben

Bestimmung von Flächen zwischen Graph und x-Achse sowie Flächen zwischen zwei Graphen, auch in Abhängigkeit von Parametern - Lehrplan

Hilfe
  • Hilfe speziell zu dieser Aufgabe
    Skizziere den Graphen und die beiden Flächenstücke. Bestimme für jedes Flächenstück einen Term und stelle dann eine geeignete Gleichung auf.

Bestimme k. Ergebnis(se) falls erforderlich auf die 2. Dezimalstelle gerundet eingeben!

  • f
     
    x
    =
    e
    1
    −
    x
    Betrachte das von 
    G
    f
     , der x-Achse und den Senkrechten 
    x
    =
    k
     und 
    x
    =
    3
     eingeschlossene Flächenstück. Wie groß muss k sein, damit das Teilstück rechts von der y-Achse halb so groß ist wie das Teilstück links von der y-Achse?
    k ≈
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FLÄCHE berechnen INTEGRAL – Integralrechnung Flächenberechnung
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FLÄCHE berechnen INTEGRAL – Integralrechnung Flächenberechnung

Kanal: MathemaTrick
Besitzt der Graph einer Funktion im Intervall ]a;b[ keinen Schnittpunkt mit der x-Achse, so erhält man die Fläche, die er in diesem Intervall mit der x-Achse einschließt durch Integration von f zwischen den Integrationsgrenzen a und b. Bei negativem Integralwert (wenn das betrachtete Flächenstück unter der x-Achse liegt) ist der Betrag davon zu nehmen.
Besitzen die Graphen zweier Funktionen f und g im Intervall ]a;b[ keinen Schnittpunkt, so erhält man die Fläche, die sie in diesem Intervall einschließen, durch Integration der Differenz f − g zwischen den Integrationsgrenzen a und b. Bei negativem Integralwert (wenn f < g im betrachteten Intervall) ist der Betrag davon zu nehmen.
Um die Fläche zu ermitteln, die zwischen zwei Graphen Gf und Gg im Intervall I = [a;b] (d.h. nach links und rechts begrenzt durch die Vertikalen x = a und x = b) liegt, gehe wie folgt vor:
  1. Bilde die Differenz d = f − g und vereinfache den Term so weit wie möglich.
  2. Ermittle eine Stammfunktion D von d.
  3. Überprüfe, ob und wo sich beide Graphen im Intervall I schneiden. Kommst du mit dem Ansatz f(x) = g(x) rechnerisch nicht weiter, führt evtl. eine Skizze weiter (es reicht, wenn Schnittstellen durch die Skizze ausgeschlossen werden können!).
  4. Evtl. Schnittstellen, die im Intervall I liegen, unterteilen I in Teilintervalle. Integriere nun die Differenz d über die einzelnen Teilintervalle. Dabei kannst du immer auf dieselbe Stammfunktion D zurückgreifen.
  5. Addiere zum Schluss die BETRÄGE der einzelnen Integrale.
Beispiel
Bestimme den Inhalt der Fläche, welche von den beiden Parabeln p und q mit 
p
 
x
=
x
2
+
1
 und 
q
 
x
=
−
x
2
+
9
 eingeschlossen wird.