10.3 Exponentielles Wachstum y = a^x - Mathematikaufgaben

Unterscheidung zwischen linearen und exponentiellen Wachstumsvorgängen, Parameter exponentiellen Wachstums, Exponentialfunktion (inkl. Graph), Bestimmung von Anfangsbestand und Wachstumsfaktor, Textaufgaben - gemäß Lehrplan

Hilfe
  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
  • Beim linearen Wachstum ist der absolute Zuwachs in gleichen Zeitschritten konstant, d.h.
      f(t+1) − f(t) = d (absolute Zunahme pro Zeitschritt)

    Beim exponentiellen Wachstum ist der relative Zuwachs konstant, d.h.
      f(t+1) : f(t) = a (Wachstumsfaktor)

    Bezogen auf eine Wertetabelle heißt das:
    • Bei linearem Wachstum ist die Differenz benachbarter Funktionswerte konstant.
    • Bei exponentiellem Wachstum ist der Quotient benachbarter Funktionswerte konstant.
    Unterscheide zwischen Wachstum (d > 0 bzw. a > 1) und Abnahme (d < 0 bzw. 0 < a < 1)

Betrachte folgende gerundete Messwerte. Ist der Zusammenhang linear, exponentiell oder weder noch?

  • t
    0
    1
    2
    3
    f(t)
    3,1
    2,94
    2,78
    2,62
    Der Zusammenhang ist
    linear
     
         
     
    exponentiell
     
         
     
    weder noch
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Exponentielles Wachstum (Teil 1)
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Exponentielles Wachstum (Teil 2)
Beim linearen Wachstum ist der absolute Zuwachs in gleichen Zeitschritten konstant, d.h.
  f(t+1) − f(t) = d (absolute Zunahme pro Zeitschritt)

Beim exponentiellen Wachstum ist der relative Zuwachs konstant, d.h.
  f(t+1) : f(t) = a (Wachstumsfaktor)

Bezogen auf eine Wertetabelle heißt das:
  • Bei linearem Wachstum ist die Differenz benachbarter Funktionswerte konstant.
  • Bei exponentiellem Wachstum ist der Quotient benachbarter Funktionswerte konstant.
Unterscheide zwischen Wachstum (d > 0 bzw. a > 1) und Abnahme (d < 0 bzw. 0 < a < 1)
Beispiel 1
Handelt es sich um lineares oder exponentielles Wachstum (oder weder noch)?
(a)     
 
x
1
2
3
4
5
y
1
3
2
3
1
1
3
2
2
3
5
1
3
 
(b)     
 
x
1
2
3
4
5
y
1
3
1
2
3
3
4
1
3
6
Beispiel 2
Ergänze so, dass es sich um exponentielles Wachstum handelt.
x
1
2
3
4
5
y
5
7
?
?
0,245
?
Wachstumsrate = Wachstumsfaktor a − 1
  • Nimmt ein Bestand pro Zeitschritt um 20% (= Rate) zu, so hat er sich auf 120% (= a) des ursprünglichen Bestands vergößert.
  • Nimmt ein Bestand pro Zeitschritt um 20% (Rate) ab, so hat er sich auf 80% (= a) des ursprünglichen Bestands verringert.
Ansonsten bedenke, dass 80% = 0,8 und 120% = 1,2.
Beispiel
Wie lautet der Wachstumsfaktor (bezogen auf das angegebene Zeitintervall)
  • bei einer monatlichen Zunahme um die Hälfte
  • bei einer jährlichen Abnahme um ein Viertel
  • bei einem täglichen Rückgang um 1,5%
Verdoppelungszeit tD nennt man die (bei exponentiellem Wachstum konstante) Zeit, in der sich der Bestand verdoppelt.

Halbwertszeit tH nennt man die (bei exponentieller Abnahme konstante) Zeit, in der sich der Bestand halbiert.

Funktionen mit der Gleichung f(x) = b · ax heißen Exponentialfunktionen. Dabei ist
  • a > 0 der Wachstumsfaktor und
  • b = f(0) der Anfangsbestand
Beispiel 1
Gegeben ist der Graph einer Exponentialfunktion mit der Gleichung
 
y
=
b
·
a
x
 
. Bestimme an und b.
graphik
Beispiel 2
Ein zu festem Jahreszinssatz angelegtes Kapital ist innerhalb von 10 Jahren auf 300% angewachsen. Wie hoch ist der Zinsatz?
Beispiel 3
Schreibe in der Form
 
f(x)
=
b
·
a
x
 
:
f(x)
=
1
5
6
·
2
1
−
x
Der Graph einer Exponentialfunktion mit der Gleichung y = b · ax hat stets die x-Achse als Asymptote und schneidet die y-Achse in (0|b).

Im Fall b > 0

  • steigt der Graph für a > 1 ("ins Unendliche")
  • fällt der Graph für 0 < a < 1

Im Fall b < 0 (Spiegelung an der x-Achse gegenüber dem positiven Betrag von b) verhält es sich genau umgekehrt.

Beispiel
Für welche Werte von a
(a) fällt der Graph von    f(x)
=
a
+
1
·
x
−
2
 
   streng monoton?
(b) steigt der Graph von    f(x)
=
2
·
a
−
x
 
   streng monoton?