13.2 Ana. Geo. Punkte und Vektoren (Alter Lehrplan) - Matheaufgaben

Dreidimensionales kartesisches Koordinatensystem, Darstellen von Punkten und einfachen Figuren und Körpern, z. B. Parallelogramm, Dreieck, Quader, Pyramide. Vektoren, Linearkombination. Streckenlänge, Betrag eines Vektors - Lehrplan Baden-Württemberg, Berufskolleg, Fachhochschulreife, 11. Klasse

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Skizze:
 
graphik
Die Grundfläche ist ein Parallelogramm
A( 2 | -3 | 1 )
B( 2| 2 | 1 )
C( -2 | 4 | 0 )
S( -1 | 0,5| 4,5 )
Höhe
 
MS
 
≈
 
  • Nebenrechung

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Ein Punkt P(p1 | p2 | p3) im dreidimensionalen Koordinatensystem liegt
  • auf der x1-Achse, wenn p2 = p3 = 0
  • auf der x2-Achse, wenn p1 = p3 = 0
  • auf der x3-Achse, wenn p1 = p2 = 0
  • in der x1x2-Ebene, wenn p3 = 0
  • in der x1x3-Ebene, wenn p2 = 0
  • in der x2x3-Ebene, wenn p1 = 0
Punkte auf der x1-Achse liegen erst recht in der x1x2-Ebene und in der x1x3-Ebene. Für Punkte auf der x2-Achse und auf der x3-Achse gilt dies analog.
Spiegelung von P(p1 | p2 | p3) an der...
  • x1-Achse ⇒ P ´ (p1 | −p2 | −p3)
  • x2-Achse ⇒ P ´ (−p1 | p2 | −p3)
  • x3-Achse ⇒ P ´ (−p1 | −p2 | p3)
  • der x1x2-Ebene ⇒ P ´ (p1 | p2 | −p3)
  • der x1x3-Ebene ⇒ P ´ (p1 | −p2 | p3)
  • der x2x3-Ebene ⇒ P ´ (−p1 | p2 | p3)
Die Koordinaten des Vektors mit Fuß in A und Spitze in B erhält man durch die Rechnung "Spitze − Fuß", also

b1 − a1
b2 − a2
b3 − a3

Beispiel
Bestimme die Verbindungsvektoren von A(7|1) nach B(2|4) und von P(1|2|3) nach Q(3|-1|4)
AB
=
?
?
;
PQ
=
?
?
?
Eine Summe von mehreren Vektoren bzw. von deren Vielfachen nennt man Linearkombination. Dabei werden die Pfeile nach dem Prinzip "Fuß an Spitze" aneinander gekettet. Bei "−" wird der Gegenvektor (Spitze und Fuß vertauscht) addiert.
Beispiel
graphik
Die orangen Pfeile veranschaulichen die Linearkombination
 
AM
+
MS
+
SD
 
,
der grüne Pfeil das Ergebnis, d.h.
 
AM
+
MS
+
SD
=
AD
   
Man kann auch andere Linearkombinationen angeben, die zu demselben Ergebnis führen, z.B.
1
2
 
AC
+
MS
−
DS
=
AD
−
DS
 
ist gleichbedeutend mit
 
+
−
DS
 
also der Addition des Gegenvektors.
Die Länge eines Vektors erhält man, indem man seine Koordinaten quadriert, summiert und dann die Wurzel zieht. Die Vorzeichen der Koordinaten spielen dabei keine Rolle.
Beispiel
Berechne die Länge von
 
a
=
5
−
3
 
und
 
b
=
1
4
7