14.5 Stochastik - Zufallsgröße, Erwartungswert und Varianz - Aufgaben

Wahrscheinlichkeitsverteilung, Erwartungswert und Varianz einer Zufallsvariablen bestimmen; Textaufgaben - Lehrplan

Hilfe
  • Den Erwartungswert E(X) einer Zufallsvariablen X erhält man, indem man jeden Wert von X mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit multipliziert und daraus die Summe bildet.

Berechne den Erwartungswert der Zufallsgröße X. Brüche bzw. gemischte Zahlen sind in der Form "a/b" bzw. "a b/c" einzugeben.

  • Folgendes Glücksrad wird einmal gedreht. Die Sektoren 1 und 2 haben jeweils den Mittelpunktswikel 90°, der von Feld 3 ist doppelt so groß wie der von Feld 4.
    graphik
    X: Zahl auf dem Feld, bei dem das Glücksrad stehenbleibt.
    E
     
    X
    =
    (Ergebnis exakt, also ohne Rundung, angeben)
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Den Erwartungswert E(X) einer Zufallsvariablen X erhält man, indem man jeden Wert von X mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit multipliziert und daraus die Summe bildet.
Beispiel
Zwei Würfel werden gleichzeitig geworfen. Bei einem 6er-Pasch erhält der Spieler 20€, bei jedem anderen Pasch 5€, ansonsten muss er 2€ zahlen. Lohnt sich dieses Spiel für ihn auf Dauer?
Die Varianz Var(X) einer Zufallsgröße X gibt grob gesagt an, wie stark die Werte einer Zufallsgröße vom Erwartungswert abweichen. Um sie zu berechnen, muss man zunächst den Erwartungswert μ bestimmen. Für jeden Wert k, den X annehmen kann, ist dann folgende Rechnung durchzuführen:
  • den Erwartungswert μ abziehen
  • Ergebnis quadrieren
  • Ergebnis mit zugehöriger Wahrscheinlichkeit multiplizieren
Die Summe dieser Produkte (für alle k) ergibt die Varianz, also

Var(x) = Σ (k − μ)2· P(X = k)