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    Zentrische Streckung

    Die Zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung. Eine Figur wird im gegebenen Verhältnis vergrößert oder verkleinert. Dabei gilt:

    • Alle Streckenpaare von Ursprungs-Figur und Bild sind jeweils parallel.
    • Streckzentrum, Punkt und Bildpunkt liegen auf einer Geraden (hilfreich für die Konstruktion!).
    • Die Form der Figur verändert sich nicht, insbesondere bleiben alle Winkel gleich groß.
    • Der Streckfaktor gibt das Maß der Vergrößerung/Verkleinerung an und berechnet sich als Quotient aus Bildstreckenlänge und Ausgangsstreckenlänge, z.B. k = ZA' : ZA.

    Was uns der Streckfaktor k sagt...:

    • k positiv ⇒ Figur und Bild liegen auf der selben Seite des Streckzentrums.
    • k negativ ⇒ Figur und Bild liegen auf unterschiedlichen Seiten des Streckzentrums.
    • |k| > 1 ⇒ Bild ist vergrößert.
    • |k| < 1 ⇒ Bild ist verkleinert.
    • Bildstrecke ist |k| - fach so lang wie die Ursprungsstrecke.
    • Flächeninhalt des Bildes ist k2 so groß wie Flächeninhalt der Ausgangsfigur.

Zeichne Figur und Bildfigur in ein Koordinatensystem und bestimme dann Streckzentrum und Streckfaktor. Die gesuchten Zahlen sind ganz, von der Art x,5 oder einfache Brüche ("a/b" eingeben).

Ausgangs-Dreieck: A(0|4,5), B(1,5|0), C(3|1,5)
Bild-Dreieck: A´(3|2,5), B´(3,5|1), C´(4|1,5)
Streckzentrum Z
 
|
Streckfaktor k
=
  • Nebenrechnung

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Zwei Figuren sind ähnlich, wenn sie in den jeweils entsprechenden Winkeln und allen Seitenverhältnissen entsprechender Seiten übereinstimmen.
Beispiel
Die beiden Figuren sind ähnlich. Berechne die fehlenden Seitenlängen und gib die fehlenden Winkel an (Abbildungen nicht maßstabsgetreu).
graphik
a
=
?
β
=
°
γ
=
°
b'
=
?
α
 
'
=
°
β
 
'
=
°

Zentrische Streckung

Die Zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung. Eine Figur wird im gegebenen Verhältnis vergrößert oder verkleinert. Dabei gilt:

  • Alle Streckenpaare von Ursprungs-Figur und Bild sind jeweils parallel.
  • Streckzentrum, Punkt und Bildpunkt liegen auf einer Geraden (hilfreich für die Konstruktion!).
  • Die Form der Figur verändert sich nicht, insbesondere bleiben alle Winkel gleich groß.
  • Der Streckfaktor gibt das Maß der Vergrößerung/Verkleinerung an und berechnet sich als Quotient aus Bildstreckenlänge und Ausgangsstreckenlänge, z.B. k = ZA' : ZA.

Was uns der Streckfaktor k sagt...:

  • k positiv ⇒ Figur und Bild liegen auf der selben Seite des Streckzentrums.
  • k negativ ⇒ Figur und Bild liegen auf unterschiedlichen Seiten des Streckzentrums.
  • |k| > 1 ⇒ Bild ist vergrößert.
  • |k| < 1 ⇒ Bild ist verkleinert.
  • Bildstrecke ist |k| - fach so lang wie die Ursprungsstrecke.
  • Flächeninhalt des Bildes ist k2 so groß wie Flächeninhalt der Ausgangsfigur.

Beispiel 1
Die blaue Figur ist aus der roten Figur durch eine zentrische Streckung entstanden. Zeichne die Figuren in ein Koordinatensystem und ermittle das Streckzentrum Z und den Streckfaktor k.
graphik
Z
 
?
 
|
 
?
k
=
?
Beispiel 2
Strecke das Viereck ABCD am Streckzentrum Z mit Streckfaktor k.
A
 
1
 
|
 
0
B
 
3
 
|
 
1
C
 
2
 
|
 
1
D
 
1
 
|
 
4
Streckzentrum:
Z
 
2
 
|
 
2
Streckfaktor:
k
=
2
Gib die Koordinaten der gestreckten Figur an.
A'
 
?
 
|
 
?
B'
 
?
 
|
 
?
C'
 
?
 
|
 
?
D'
 
?
 
|
 
?