Erkläre die Begriffe "proportional", "umgekehrt (indirekt, anti-) proportional", "produktgleich", "quotientengleich" und "Proportionalitätsfaktor".

Proportional heißt: Wenn man die eine Größe (x) verdoppelt, verdoppelt sich auch die andere (y). Wenn man x verdreifacht, verdreifacht sich auch y u.s.w.. Da der Quotient aus y und x konstant ist, spricht man von Quotientengleichheit. Den konstanten Quotientenwert y : x nennt man Proportionalitätsfaktor.

Umgekehrt (indirekt, anti-) proportional heißt: Wenn man x verdoppelt, halbiert sich y. Wenn man x verdreifacht, verringert sich y auf den dritten Teil u.s.w.. Da das Produkt aus x und y konstant ist, spricht man von Produktgleichheit.

Beispiel 1
Ein Maler benötigt 7,5 Stunden, um eine Fläche von 300 m² zu bemalen. Wieviel Zeit benötigt er für eine Fläche von 500 m²?
Lösung siehe Video:
Proportionalität, umgekehrte, Sachaufgabe
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Proportionalität, umgekehrte, Sachaufgabe

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Beispiel 2
Die Größen x und y stehen in einem proportionalen Zusammenhang. Fülle die Tabelle vollständig aus.
x
3
1
7
5
y
4
11
1
14
Lösung siehe Video:
Proportionalität, Tabelle ergänzen
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Proportionalität, Tabelle ergänzen

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Beispiel 3
Die Größen x und y stehen in einem umgekehrt proportionalen (antiproportionalem) Zusammenhang. Fülle die Tabelle vollständig aus.
x
11
3
1
7
y
14
−
1
14
−
7
11
Bei einem umgekehrt proportionalen Zusammenhang liegt Produktgleichheit vor, d.h. 
x
·
y
 ergibt in allen Spalten denselben Wert. Man verwendet bei dieser Tabelle die letzte Spalte, um dieses Produkt auszurechnen:
3
1
7
·
−
7
11
=
22
7
·
−
7
11
=
−
2
In allen anderen Spalten ermittelt man nun den fehlenden Wert durch Division:
−
2
:
14
=
−
1
7
    
erste Spalte
−
2
:
11
=
−
2
11
    
zweite Spalte
−
2
:
−
1
14
=
−
2
·
−
14
=
28
    
dritte Spalte
x
−
1
7
11
28
3
1
7
y
14
−
2
11
−
1
14
−
7
11
Proportionalität, Beispiel umgekehrte Proportionalität
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Proportionalität, Beispiel umgekehrte Proportionalität

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Beispiel 4
Prüfe, ob der Zusammenhang proportional ist. Wenn ja, gib den Proportionalitätsfaktor q an.
x
1,5
−
2
3
1
y
−
0,5
2
9
−
1
3
Nur wenn Quotientengleichheit vorliegt, kann es sich um einen proportionalen Zusammenhang halten. Für die Prüfung könnte man für alle drei Spalten jeweils 
x
:
y
 berechnen oder 
y
:
x
. Wichtig ist nur, dass bei beiden Varianten immer der gleiche Wert herauskommt. Da auch der Proportionalitätsfaktor 
q
=
y
:
x
 anzugeben ist, entscheidet man sich besser für die zweite Variante, da man damit einen unnötigen Rechenschritt einspart:
1. Spalte:
−
0,5
1,5
=
−
1
3
=
−
1
3
    
(mit 2 erweitert)
2. Spalte:
2
9
:
−
2
3
=
2
9
·
−
3
2
=
−
1
3
    
(gekürzt)
3. Spalte:
−
1
3
:
1
=
−
1
3
Man kann also von Proportionalität ausgehen und erhält 
q
=
−
1
3
.
Proportionalität, Beispiel Proportionalitätskoeffizient
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Proportionalität, Beispiel Proportionalitätskoeffizient

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Beispiel 5
Prüfe, ob der Zusammenhang proportional, umgekehrt proportional (antiproportional) oder weder noch ist. Gib in den ersten beiden Fällen den noch fehlenden Tabellenwert an.
x
−
1,8
5
2
−
1
1
3
y
2
−
1,44
31
2,7
Lösung siehe Video:
Proportionalität, Beispiel Überprüfung
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Proportionalität, Beispiel Überprüfung

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Beispiel 6
Natalie beginnt einen Roman, der 330 Seiten umfasst. Nach eine Dreiviertelstunde ist sie auf Seite 21. Überschlage, wie lange sie für das ganze Buch benötigen wird.
Lösung: Der Zusammenhang zwischen Seitenzahl und Zeit ist proportional.
ca. 20 Seiten
≙
ca. 45 min
·
2
ca. 40 Seiten
≙
ca. 1,5 h
·
8
ca. 320 Seiten
≙
ca. 12 h
Beispiel 7
Stelle fest, ob der Zusammenhang zwischen den folgenden Größen jeweils indirekt (synonym: umgekehrt/anti-) proportional ist:
a) x=Geschwindigkeit eines Autos | y=Fahrzeit für eine bestimmte Strecke
b) x=Anzahl der Maler | y=Arbeitsdauer für das Streichen einer Wohnung
c) x=Anzahl der bereits gelesenen Seiten | y=noch ungelesene Seiten eines Buches
Zu (a)
Bei doppelter Geschwindigkeit benötigt man die Hälfte der Fahrzeit. Allgemein: n-fache Geschwindigkeit bedeutet 1/n der Fahrzeit. Also ist der Zusammenhang indirekt proprtional.

Zu (b)
Bei doppelt so vielen Malern dauert das Streichen der Wohnung nur halb so lang. Allgemein: n-fache Anzahl Maler bedeutet 1/n der Anstreichzeit. Also ist der Zusammenhang auch hier indirekt proportional.

Zu (c)
Zwar liegt auch hier ein Zusammenhang der Art "je mehr… desto weniger…" vor, aber dieser ist NICHT indirekt proportional, wie folgendes Beispiel zeigt: Ein Buch bestehe aus 1000 Seiten. Hast du 100 Seiten gelesen, so sind 900 noch ungelesen. Hast du 200 Seiten gelesen, so sind 800 noch ungelesen. 200 ist das Doppelte von 100, aber 800 ist nicht die Hälfte von 900.
Indirekte Proportionalität, Beispiel und Gegenbeispiel
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Indirekte Proportionalität, Beispiel und Gegenbeispiel

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Siehe auch

Mathe-Aufgaben zu diesem Thema

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