Wie überprüft man rechnerisch, ob ein bestimmter Punkt auf, über oder unter einem Funktionsgraphen liegt, wenn die Funktionsgleichung gegeben ist?

Um zu überprüfen, ob ein Punkt (a|b) über, auf oder unter dem Graphen einer Funktion liegt, setzt man a in den Funktionsterm f(x) ein. Der Punkt liegt
  • über dem Graphen, wenn b > f(a)
  • auf dem Graphen, wenn b = f(a)
  • unter dem Graphen, wenn b < f(a)
Beispiel 1
g: 
y
=
−
1
3
 
x
+
2
3
;        
A
 
2
 
|
 
0
;   
B
 
−
4
 
|
 
2,5
;   
C
 
8
 
|
 
−
3
Gib jeweils an, ob der der Punkt über, auf oder unter der Geraden liegt.
  • Lage von Punkt A
Punkt A hat die x-Koordinate 2. Berechne daher den Funktionswert der Geraden g an der Stelle 2:
g
 
2
=
−
1
3
·
2
+
2
3
=
−
2
3
+
2
3
=
0
Also liegt der Punkt 
A
 
2
 
|
 
0
 auf der Geraden.

  • Lage von Punkt B
Punkt B hat die x-Koordinate −4. Berechne daher den Funktionswert der Geraden g an der Stelle −4:
g
 
−
4
=
−
1
3
·
−
4
+
2
3
=
4
3
+
2
3
=
6
3
=
2
Also liegt der Punkt 
−
4
 
|
 
2
 auf der Geraden. Der Punkt 
B
 
−
4
 
|
 
2,5
 liegt dagegen oberhalb der Geraden, da die y-Koordinate größer ist: 
2,5
 
>
 
2

  • Lage von Punkt C
Punkt C hat die x-Koordinate 8. Berechne daher den Funktionswert der Geraden g an der Stelle 8:
g
 
8
=
−
1
3
·
8
+
2
3
=
−
8
3
+
2
3
=
−
6
3
=
−
2
Also liegt der Punkt 
8
 
|
 
−
2
 auf der Geraden. Der Punkt 
C
 
8
 
|
 
−
3
 liegt dagegen unterhalb der Geraden, da die y-Koordinate kleiner ist: 
−3
 
<
 
−2
.
graphik
Beispiel 2
f: 
y
=
−
1
2
 
x
2
−
x
+
8
;        
A
 
−
5
 
|
 
−
1
;   
B
 
−
2
 
|
 
9
;   
C
 
1
 
|
 
6,5
Gib jeweils an, ob der der Punkt über, auf oder unter der Parabel liegt.
  • Lage von Punkt A
Punkt A hat die x-Koordinate −5. Berechne daher den Funktionswert der Parabel f an der Stelle −5:
f
 
−
5
=
−
1
2
·
−
5
2
−
−
5
+
8
=
−
12,5
+
5
+
8
=
0,5
Also liegt der Punkt 
−5
 
|
 
05
 auf der Parabel. Der Punkt 
A
 
−5
 
|
 
−
1
 liegt dagegen unterhalb der Parabel, da die y-Koordinate kleiner ist: 
−1
 
<
 
0,5
.

  • Lage von Punkt B
Punkt B hat die x-Koordinate −2. Berechne daher den Funktionswert der Parabel f an der Stelle −2:
f
 
−
2
=
−
1
2
·
−
2
2
−
−
2
+
8
=
−
2
+
2
+
8
=
8
Also liegt der Punkt 
−
2
 
|
 
8
 auf der Parabel. Der Punkt 
B
 
−
2
 
|
 
9
 liegt dagegen oberhalb der Parabel, da die y-Koordinate größer ist: 
9
 
>
 
8

  • Lage von Punkt C
Punkt C hat die x-Koordinate 1. Berechne daher den Funktionswert der Parabel f an der Stelle 1:
f
 
1
=
−
1
2
·
1
2
−
1
+
8
=
−
0,5
−
1
+
8
=
6,5
Also liegt der Punkt 
C
 
1
 
|
 
6,5
 auf der Parabel.
graphik
Siehe auch

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