Die drei Binomischen Formeln (BF) lauten:

  1. (a + b)² = a² + 2ab + b²
  2. (a − b)² = a² − 2ab + b²
  3. (a + b) (a − b) = a² − b²
In dieser Richtung (links mit Klammer, rechts ohne) dienen die Formeln dazu, Klammern schneller auszumultiplizieren. Ohne Kenntnis der BF müsste man die Klammern auf herkömmlich Art ("jeder mit jedem") ausmultiplizieren.
Beispiel 1
Multipliziere.
a
+
1
2
=
?
3
b
2
=
?
11
+
c
·
11
c
=
?

Lösung:
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -1. BF:
a
+
1
2
=
a
2
+
2
·
a
·
1
+
1
2
=
a
2
+
2a
+
1
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2. BF:
3
b
2
=
3
2
2
·
3
·
b
+
b
2
=
9
6b
+
b
2
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -3. BF:
11
+
c
·
11
c
=
11
2
c
2
=
121
c
2
Das Video behandelt weitere Aufgaben:
Beispiel 2
Multipliziere.
3
7
+
y
2
=
?
1,5x
2
3
2
=
?
q
2
+
1
6
·
q
2
1
6
=
?

Lösung:
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -1. BF:
3
7
+
y
2
=
3
7
2
+
2
·
3
7
·
y
+
y
2
=
9
49
+
6
7
 
y
+
y
2
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2. BF:
1,5x
a
2
3
b
2
=
1,5x
2
a
2
2
·
1,5x
·
2
3
2ab
+
2
3
2
b
2
=
2,25x
2
3x
·
2
3
+
4
9
=
2,25x
2
2x
+
4
9
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -3. BF:
q
2
+
1
6
·
q
2
1
6
=
q
2
2
1
6
2
=
q
2
4
1
36
Das Video behandelt ähnliche Aufgaben.
Beispiel 3
Multipliziere.
6
 
x
+
2
 
y
2
=
?
a
3
3
 
b
2
=
?
d
+
2
 
3
·
d
2
 
3
=
?

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1. BF:
6
 
x
+
2
 
y
2
=
6
 
x
2
6x
2
+
2
·
6
 
x
·
2
 
y
2
 
12
 
xy
+
2
 
y
2
2y
2
=
6x
2
+
2
 
4
·
3
2
 
3
 
xy
+
2y
2
=
6x
2
+
4
 
3
 
xy
+
2y
2
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2. BF:
a
3
3
 
b
2
=
a
3
2
2
·
a
3
·
3
 
b
+
3
 
b
2
=
a
2
9
2
3
 
3
 
ab
+
3b
2
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3. BF:
d
+
2
 
3
·
d
2
 
3
=
d
2
2
 
3
2
=
d
2
2
2
·
3
2
=
d
2
4
·
3
=
d
2
12
Das Video behandelt weitere Beispiele:
Beispiel 4
Berechne mithilfe der binomischen Formeln ohne Taschenrechner:
53
2
=
?
29
2
=
?
38
·
42
=
?

Man verwendet hier die 1. binomische Formel und schreibt 53 als die Summe aus 50 und 3. So wird die Einerzahl so klein wie möglich, was das Rechnen im Kopf erleichtert:
53
2
=
50
+
3
2
=
50
2
+
2
·
50
·
3
+
3
2
=
2500
+
300
+
9
=
2809
-----------------------
Man verwendet hier die 2. binomische Formel und schreibt 29 als die Differenz aus 30 und 1. So wird die Einerzahl so klein wie möglich, was das Rechnen im Kopf erleichtert:
29
2
=
30
1
2
=
30
2
2
·
30
·
1
+
1
2
=
900
60
+
1
=
841
-----------------------
Hier nutzt man die 3. binomische Formel und schreibt 38 als die Differenz und 42 als die Summe aus 40 und 2:
38
·
42
=
40
2
·
40
+
2
=
40
2
2
2
=
1600
4
=
1596
Beispiel 5
Vereinfache soweit wie möglich.
2c
5d
2
c
5
·
3d
=
?

2c
5d
2
c
5
·
3d
=
2c
2
2
·
2c
·
5d
+
5d
2
c
·
3d
5
·
3d
=
4c
2
20cd
+
25d
2
3cd
+
15d
=
4c
2
23cd
+
25d
2
+
15d
Das folgende Video behandelt ein ähnliches Beispiel:

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