Asymptoten sind Geraden, denen sich der Graph annähert. Der Graph kommt der Asymptote dabei beliebig nahe, ohne sie zu berühren.

Oftmals sind Asymptoten senkrecht oder waagrecht verlaufende Geraden. Z.B.:

  • "y = 5" drückt eine waagrechte Gerade durch den Punkt (0|5) aus.
  • "x = 5" drückt eine senkrechte Gerade durch den Punkt (5|0) aus.
Beispiel 1
Bestimme alle waagrechten und senkrechten Asymptoten des Graphen und gib ihre Gleichungen an.
graphik

Lösung:
  • waagrechte Asymptote
Wie verhält sich der Graph für sehr große bzw. sehr kleine x-Werte (also an den "Rändern")? Offensichtlich schmiegt er sich an die waagrechte Gerade mit der Gleichung y = -2 an. Er kommt dieser Geraden beliebig nahe, wenn man nur weit genug nach rechts oder links geht.
  • senkrechte Asymptote
Wie man sieht, schmiegt sich der Graph auch der y-Achse an, genauer: Für x-Werte nahe 0 werden die zugehörigen y-Werte beliebig groß bzw. beliebig klein. Die y-Achse mit der Gleichung x = 0 ist also eine senkrechte Asymptote des Graphen.
graphik
Beispiel 2
Gegeben ist die Funktion f mit dem Term 
f(x)
=
6
x
+
2
+
1.
Fülle die Lücken in der Wertetabelle aus und gib die Gleichung der Asymptote an, die man daraus erkennen kann.
x
0
1
1,9
1,97
1,994
f(x)

x
0
1
1,9
1,97
1,994
f(x)
4
7
61
201
1001
Wenn man x-Werte einsetzt, die dem Wert 
x
=
2
 immer näherkommen, wächst der Betrag der zugehörigen y-Werte stark an. Der Graph von f nähert sich also der senkrechten Asymptote mit der Gleichung 
x
=
2
 an.
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