Asymptoten sind Geraden, denen sich der Graph annähert. Der Graph kommt der Asymptote dabei beliebig nahe, ohne sie zu berühren.
Oftmals sind Asymptoten senkrecht oder waagrecht verlaufende Geraden. Z.B.:
- "y = 5" drückt eine waagrechte Gerade durch den Punkt (0|5) aus.
- "x = 5" drückt eine senkrechte Gerade durch den Punkt (5|0) aus.
Beispiel 1
Bestimme alle waagrechten und senkrechten Asymptoten des Graphen und gib ihre Gleichungen an.
Lösung:
- waagrechte Asymptote
Wie verhält sich der Graph für sehr große bzw. sehr kleine x-Werte (also an den "Rändern")? Offensichtlich schmiegt er sich an die waagrechte Gerade mit der Gleichung y = -2 an. Er kommt dieser Geraden beliebig nahe, wenn man nur weit genug nach rechts oder links geht.
- senkrechte Asymptote
Wie man sieht, schmiegt sich der Graph auch der y-Achse an, genauer: Für x-Werte nahe 0 werden die zugehörigen y-Werte beliebig groß bzw. beliebig klein. Die y-Achse mit der Gleichung x = 0 ist also eine senkrechte Asymptote des Graphen.
Beispiel 2
Gegeben ist die Funktion f mit dem Term
f(x) | = |
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Fülle die Lücken in der Wertetabelle aus und gib die Gleichung der Asymptote an, die man daraus erkennen kann.
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Wenn man x-Werte einsetzt, die dem Wert
immer näherkommen, wächst der Betrag der zugehörigen y-Werte stark an. Der Graph von f nähert sich also der senkrechten Asymptote mit der Gleichung
an.
x | = |
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