Was lässt sich über das Faktorisieren eines quadratischen Terms aussagen?

Ein quadratischer Term (q · x² + r · x + s) kann evtl. als Produkt von zwei linearen Termen (linear ist z.B. x + 2) geschrieben werden. Dies hängt von den Lösungen der entsprechenden Nullgleichung (Lösungsformel!) ab:
  • Zwei unterschiedliche Lösungen a und b: der Term zerfällt in q · (x − a) · (x − b).

  • Eine Lösung a: der Term zerfällt in q · (x − a)².

  • Keine Lösung ("Minus unter der Wurzel"): der Term ist nicht zerlegbar.
Beispiel
Zerlege, falls möglich, in Linearfaktoren:
a
 
   
 
−
2x
2
+
3x
+
2
b
 
   
 
−
3x
2
+
x
−
5
Lösung:
  • zu (a)
−
2x
2
+
3x
+
2
=
0
MNF
x
1,2
=
−
3
 
±
 
9
+
16
−
4
x
1,2
=
−
3
 
± 5
−
4
x
1
=
−
0,5
x
2
=
2
Die Zerlegung lautet damit:
−
2
 
x
2
+
3x
+
2
=
−
2
·
x
 
+
0,5
·
x
 
−
2
  • zu (b)
−
3x
2
+
x
−
5
=
0
Diese Gleichung ist nicht lösbar, da die Diskriminante D (Term unter der Wurzel) negativ ist:
D
=
1
−
4
·
−
3
·
−
5
=
1
−
60
<
0
Damit ist eine Zerlegung in Linearfaktoren nicht möglich.
Siehe auch

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