Wie bestimmt und spezifiziert man eine Polstelle?
Um eine Polstelle x0 zu spezifizieren, muss man die einseitigen Grenzwerte bestimmen. Dazu lässt man x einmal von links gegen x0 gehen und einmal von rechts.
Beispiel: x0=1
"von links gegen 1" trifft etwa auf die Folge 0,9 ; 0,99 ; 0,999 ... zu.
"von rechts gegen 1" trifft etwa auf die Folge 1,1 ; 1,01 ; 1,001 ... zu.
Oft erkennt man schon ohne direktes Ausrechnen, ob der Funktionswert f(x) sich dabei gegen +∞ oder −∞ entwickelt.
Beispiel
Bestimme alle auftretenden Polstellen und charakterisiere diese näher
3 |
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Lösung:
| = |
|
Der Nenner weist genau zwei Nullstellen und damit Polstellen der Funktion, nämlich
und
auf. Da es sich jeweils um einfache Nullstellen handelt (die entsprechenden Faktoren stehen in der ersten Potenz), sind beide Polstellen jeweils mit Vorzeichenwechsel. Für die genauere Untersuchung bestimmt man die einseitigen Limites:
| = | 0 |
| = | 2 |
| = | ∞ |
Analog könnte man den Limes für bestimmen, aber da man oben festgestellt hat, dass hier eine Polstelle mit VZW vorliegt, hat man bereits damit gezeigt, dass es sich bei
um eine Polstelle der Art +/− handeln muss.
x→0+
|
| = |
|
Mit demselben Argument wie oben kann man bereits hier feststellen, dass es sich bei
um eine Polstelle der Art −/+ handelt.
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Siehe auch
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