Kettenregel:

Wenn f(x) = g( h(x) ), dann ist f (x) = g( h(x) )⋅h(x)

Beispiel 1
f
 
x
=
x
2
3x
f '
 
x
=
?

- - - - - - - - - - - - Vorbereitend:
u
 
     ("äußere Funktion") abgeleitet:
 
1
2
 
u
x
2
3x
 
     ("innere Funktion") abgeleitet:
 
2x
3
- - - - - - - - - - - - Kettenregel:
f '
 
x
=
1
2
 
u
·
2x
3
- - - - - - - - - - - - u durch inneren Funktionsterm ersetzen:
        
 
=
1
2
 
x
2
3x
·
2x
3
=
2x
3
2
 
x
2
3x
Beispiel 2
f
 
x
=
x
·
cos
e
x
f '
 
x
=
?

Es handelt sich um ein Produkt (⇒Produktregel). Der zweite Faktor ist eine Verkettung (⇒Kettenregel).
- - - - - - - - - - - - Vorbereitend:
x
 
abgeleitet:   
 
1
cos
e
x
 
abgeleitet:   
 
sin
e
x
·
e
x
 
Kettenregel
- - - - - - - - - - - - Produktregel:
f '
 
x
=
1
·
cos
e
x
+
x
·
sin
e
x
·
e
x
        
 
=
cos
e
x
x
·
e
x
·
sin
e
x
Beispiel 3
f
 
x
=
1
3x
·
sin
x
f '
 
x
=
?

Es handelt sich um ein Produkt (⇒Produktregel). Der erste Faktor ist eine Verkettung (⇒Kettenregel).
- - - - - - - - - - - - Vorbereitend:
1
3x
 
abgeleitet:   
 
1
2
 
1
3x
·
3
 
Kettenregel
sin
x
 
abgeleitet:   
 
cos
x
- - - - - - - - - - - - Produktregel:
f '
 
x
=
1
2
 
1
3x
·
3
·
sin
x
+
1
3x
·
cos
x
        
 
=
3
 
sin
x
2
 
1
3x
+
1
3x
·
cos
x
Beispiel 4
f
 
x
=
x
·
cos
ln(x)
f '
 
x
=
?

Es handelt sich um ein Produkt (⇒Produktregel). Der zweite Faktor ist eine Verkettung (⇒Kettenregel).
- - - - - - - - - - - - Vorbereitend:
x
 
abgeleitet:   
 
1
cos
ln(x)
 
abgeleitet:   
 
sin
ln(x)
·
1
x
 
Kettenregel
- - - - - - - - - - - - Produktregel:
f '
 
x
=
1
·
cos
ln(x)
+
x
·
sin
ln(x)
·
1
x
        
 
=
cos
ln(x)
sin
ln(x)
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