Wie kommt man schrittweise von der normalen Sinuskurve zur Kurve mit der Gleichung y = a·sin[b·(x + c)] ; b>0 ?
Der Graph der Funktion y = a·sin[b·(x + c)] ; b>0 entsteht aus der normalen Sinuskurve durch folgende Schritte:
- Streckung/Stauchung in x-Richtung; die Periode ergibt sich durch 2π/b, vergößert sich also für b<1 und verkleinert sich für b>1
- Verschiebung in x-Richtung um |c|; bei negativem Wert nach rechts, ansonsten nach links;
- Streckung in y-Richtung mit dem Faktor |a|; zusätzlich Spiegelung an der x-Achse, wenn a negativ ist;
Beispiel 1
| = |
|
Bestimme passende Parameterwerte b und c
, so dass der Funktionsterm zum abgebildeten Graphen passt.
|
Lösung:
Der Parameter b betrifft die Streckung/Stauchung in x-Richtung. Man berechnet b, indem man 2π durch die Periode teilt. Diese beträgt laut Graph
(stell dir den Graphen um ein halbes Kästchen nach rechts verschoben vor, dann siehst du es deutlich) und damit
.
4π |
3 |
| = |
|
Der Parameter c betrifft die Verschiebung in x-Richtung. Um wie viele Längeneinheiten muss also der der Graph von
noch nach rechts oder links verschoben werden, damit der abgebildete Graph entsteht? Antwort: z.B. um 1,5 Kästchen nach rechts, denn ohne Verschiebung liegt beim Kosinus für
ein Maximum vor, hier liegt ein Maximum 1,5 Kästchen rechts vom Ursprung vor.
y | = |
|
x | = | 0 |
"1,5 Kästchen" muss natürlich als π-Bruchteil angegeben werden. Dreisatz: 2 Kästchen entspricht
, also entspricht ein halbes Kästchen
, also entspricht 1,5 Kästchen
.
π |
3 |
π |
12 |
| = |
|
Eine Verschiebung um
nach rechts erzielt man, indem man x durch
ersetzt, also
.
π |
4 |
x | − |
|
|
Beachte: sowohl für b als auch für c sind bei fehlender Einschränkung aufgrund der Symmetrie und Periodizität mehrere Lösungen möglich. Bei dieser Aufgabe ist aber
vorgegeben, damit ist die Lösung eindeutig.
| π |
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Beispiel 2
Welche der angegebenen Funktionsterme passen zum abgebildeten Graphen?
|
|
- Amplitude und Verschiebung in y-Richtung
Die y-Werte gehen von
bis , also beträgt die Amplitude 1,75. Damit scheidet (c) aus (hier ist die Amplitude 1,5). Da Minimum und Maximum vom Betrag her gleich sind gibt es keine Verschiebung in y-Richtung, weshalb (e) ausscheidet.
− | 1,75 |
1,75
- Periode
Wenn 6 Kästchen π entsprechen, dann entspricht ein Kästchen π/6. Von einer Nullstelle bis zur übernächsten (oder von einem Hochpunkt bis zum nächsten) zählen wir 20 Kästchen. Also beträgt die Periode
.
| = |
|
Der Faktor, der vor x im Argument steht ergibt sich laut Formel durch
, hier also
Damit scheiden (d) und (f) aus.
2π | : | Periode |
| = | 0,6. |
- Verschiebung in x-Richtung und Spiegelung an der x-Achse
Verschiebt man eine derart in y-Richtung und x-Richtung gestreckte Sinuskurve noch um 3π/2 nach links, so ergibt sich der abgebildete Graph. Daher ist (b) ein passender Term.
Alternativ könnte man die Sinuskurve aber auch an der y-Achse spiegeln (also −1,75) und dann um ein Kästchen, also π/6 nach rechts verschieben, um den abgebildeten Graph zu erhalten. Somit ist auch (a) ein passender Term.
Siehe auch
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