Die Ableitung f´ einer differenzierbaren Funktion f liefert für jede definierte Stelle x die lokale Änderungsrate (= Steigung des Graphen von f an dieser Stelle). Insbesondere zeigt das Vorzeichen von f ´ an, ob f im betrachteten Intervall zunimmt oder abnimmt:

f´(x) f bzw. Gf
> 0 streng monoton zunehmend bzw. wachsend
< 0 streng monoton abnehmend bzw. fallend
= 0 waagrechte Tangente
Beispiel 1
Dargestellt ist der Graph der Funktion f. In welchen Intervallen verläuft der Graph der Ableitung f ' oberhalb/unterhalb der x-Achse und wo hat er Nullstellen?
graphik

Lösung siehe Video:
Beispiel 2
Bestimme die Monotonieintervalle der ganzrationalen Funktion f aufgrund der gegebenen ersten Ableitung.
f '
 
x
=
1
3
·
x
3
·
x
+
5

Lösung: Unterteile IR gemäß der Nullstellen von f ' (-5 und 0) in Intervalle. Bestimme dann pro Faktor das Vorzeichen in jedem Intervall und daraus das Vorzeichen von f ' in jedem Intervall:
x
<
5
<
x
<
0
<
x
1
3
x
3
+
x
+
5
+
+
f ' (x)
+
erste
·
zweite
·
dritte Zeile
Aus der letzten Zeile ergibt sich schließlich, dass f
  • im Intervall [-5;0] streng monoton zunimmt und
  • in den Intervallen ]-∞;-5] und [0;∞[ streng monoton abnimmt.
Bemerkung: Manche Schüler wundern sich darüber, dass die Stellen x=-5 und x=0 EINgeschlossen werden. Ihrer Meinung nach müssten sie ausgeschlossen sein, da die Ableitung dort Null ist - was ein Widerspruch zum Satz "streng monoton steigend/fallend⇔Ableitung positiv/negativ" bedeute. Dabei übesehen sie ein wichtiges Detail: Dieser Satz gilt nur in OFFENEN Intervallen. "Streng Monoton steigend" heißt per Definition: Liegt ein Punkt des Graphen rechts von einem anderen, so liegt er höher als dieser. Da macht es gar nichts, wenn der Graph wie hier bei x=-5 eine waagrechte Tangente hat. Entscheidend ist, dass jeder Graphenpunkt rechts von x=-5 im Intervall [-5;0] höher liegt!
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