Welche exklusive Eigenschaft haben die Punkte, die auf der Mittelsenkrechten einer Strecke [AB] liegen, bzgl. der Punkte A und B? Was heißt in diesem Zusammenhang "exklusiv"?

Punkte, die auf der Mittelsenkrechten einer Strecke [AB] liegen, haben eine exklusive Eigenschaft (d.h. nur sie haben diese Eigenschaft): Sie sind zu A und B gleich weit entfernt. D.h.

ist P ein beliebiger Punkt der Mittelsenkrechten, so ist dieser zu A und B gleich weit entfernt.
ist irgendein Punkt P von A und B gleich weit entfernt, so muss die Mittelsenkrechte durch P gehen.

Diese Eigenschaft lässt sich z.B. auch nutzen, um eine Winkelhalbierende oder ein Lot zu konstruieren.

Beispiel 1

Gegeben ist die Strecke [AB]. Konstruiere die Mittelsenkrechte.

Lösung: Man zeichnet zwei gleich große Kreise um A und B, die sich schneiden. Diese Schnittpunkte haben jeweils von A und B die gleiche Entfernung und müssen daher auf der Mittelsenkrechten liegen.

Beispiel 2

Ein Winkel soll halbiert werden.

Lösung:

Ziehe einen Kreis um den Scheitelpunkt, dieser schneide die beiden Schenkel in den Punkten A und B.
Ziehe zwei gleich große Kreise um A und um B. Durch deren Schnittpunkt C verläuft die Winkelhalbierende.

Begründung für das Vorgehen: SC ist die Mittelsenkrechte der Strecke [AB].

Beispiel 3

Im Punkt P soll ein Lot zur Geraden g errichtet werden.

Lösung:

Ziehe einen Kreis um P, so dass dieser die Gerade g in zwei Punkten A und B schneidet.
Ziehe zwei gleich große Kreise um A und um B. Durch deren Schnittpunkt C verläuft das Lot.

Begründung für das Vorgehen: Man konstruiert die Mittelsenkrechte von [AB]; diese geht durch P, da P der Mittelpunkt von [AB] ist.

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P muss für diese Konstruktion nicht auf g liegen, d.h. genauso wie oben kann man vorgehen, wenn von P aus ein Lot auf g gefällt werden soll. In diesem Fall kann man es sich allerdings noch einfacher machen: