Die Länge eines Vektors erhält man, indem man seine Koordinaten quadriert, summiert und dann die Wurzel zieht. Die Vorzeichen der Koordinaten spielen dabei keine Rolle.
Beispiel 1
a
=
2
3
5
 
und
 
b
=
2
3
5
 
haben dieselbe Länge, nämlich
2
2
+
3
3
+
5
2
=
38
Beispiel 2
Berechne die Länge von
 
a
=
5
3
 
und
 
b
=
1
4
7

Lösung:
a
=
5
3
=
5
2
+
3
2
=
34
b
=
1
4
7
=
1
2
+
4
2
+
7
2
=
66
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Hier eine Erklärung für die Formel im zweidimensionalen Fall:
graphik
Am Bild ist zu erkennen, dass im rechtwinkligen Dreieck ABC der Satz des Pythagoras angewendet werden kann. Es gilt:
AB
2
=
AC
2
+
CB
2
Auch im dreidimensionalen Fall läuft es auf Pythagoras hinaus:
graphik
Der Ortsvektor zum Punkt B(1|4|7) entspricht dem Vektor
 
b
.
Der Punkt B' ist die Projektion von B in die x1x2-Ebene. Das Hilfsdreieck 0PB' ist eben und rechtwinklig im Punkt P. Hier können wir Pythagoras anwenden:
0B'
2
=
0P
2
+
PB
2
Das Dreieck 0B'B ist ebenfalls eben und rechtwinklig in B'. Hier können wir also erneut Pythagoras anwenden und das Zwischenergebnis von eben verwenden:
0B
2
=
0B'
2
+
B'B
2
=
0P
2
+
PB
2
+
B'B
2
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