Wie ermittelt man den Erwartungswert einer Zufallsvariablen?

Den Erwartungswert E(X) einer Zufallsvariablen X erhält man, indem man jeden Wert von X mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit multipliziert und daraus die Summe bildet.
Beispiel
Zwei Würfel werden gleichzeitig geworfen. Bei einem 6er-Pasch erhält der Spieler 20€, bei jedem anderen Pasch 5€, ansonsten muss er 2€ zahlen. Lohnt sich dieses Spiel für ihn auf Dauer?
Lösung:
  • Wahrscheinlichkeitsberechnungen
P
 
"6er-Pasch"
=
1
6
·
1
6
=
1
36
 
     
 
Pfadregel
P
 
"1er, 2er, 3er, 4er oder 5er-Pasch"
=
5
·
1
36
=
5
36
P
 
"kein Pasch"
=
1
−
6
36
=
5
6
 
     
 
Gegenereignis von "irgendein Pasch"
  • Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße G (=Gewinn in €)
x
i
20
5
−
2
P
 
G
=
x
i
1
36
5
36
5
6
  • Erwartungswert als Summe der Spaltenprodukte
E
 
G
=
20
36
+
25
36
−
10
6
=
−
15
36
 
negativ, also Verlust
Das Spiel lohnt sich für ihn nicht, denn im Schnitt verliert er
 
15
36
 
€.

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