Wie funktioniert die Lösungsmethode Substitution?

Beim Lösen einer Gleichung mit der Unbekannten x kann es hilfreich sein, eine Substitution vorzunehmen. Man ersetzt dabei einen geeigneten x-Term (z.B. x²) durch eine neue Variable, z.B. "z", so dass die Gleichung gelöst werden kann. Wenn man die Lösung(en) für z kennt, findet man die Lösungen für x leicht heraus (Re- / Rücksubstitution).
Beispiel 1
Löse die Gleichung.
x
4
−
6x
2
+
8
=
0
Lösung durch Substitution:
x
4
−
6x
2
+
8
=
0
substituiere x
2
durch z
z
2
−
6z
+
8
=
0
Durch die Substitution erhält man eine quadratische Gleichung und kann die Mitternachtsformel anwenden:
z
1,2
=
6 ±
 
36
−
32
2
=
6 ± 2
2
z
1
=
4
z
2
=
2
Jetzt kennt man die Lösungen für z; die Lösungen für x erhält man durch Resubstitution (Rücksubstitution). Dabei setzt man x² nacheinander gleich mit den ermittelten z-Lösungen und löst nach x auf:
x
2
=
4
x
1,2
=
± 2
 
                   
 
x
2
=
2
x
3,4
=
±
 
2
Insgesamt erhält man also die vier unterstrichenen Lösungen für x.

Ähnliche Beispiele werden in den folgenden Videos behandelt:
Gleichung vom Grad 6 mit Substitution lösen
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Kanal: Mathegym
Bruchgleichungen und Gleichungen höheren Grades auf quadratische Gleichung zurückführen
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Kanal: Mathegym
Beispiel 2
Löse die Gleichung
 
x
4
−
6x
2
+
8
=
0
Lösung durch Substitution:
x
4
−
6x
2
+
8
=
0
substituiere x
2
durch z
z
2
−
6z
+
8
=
0
Durch die Substitution erhält man eine quadratische Gleichung und kann die pq-Formel anwenden:
z
1,2
=
3 ±
 
9
−
8
=
3 ± 1
z
1
=
4
z
2
=
2
Jetzt kennt man die Lösungen für z; die Lösungen für x erhält man durch Resubstitution. Dabei setzt man x² nacheinander gleich mit den ermittelten z-Lösungen und löst nach x auf:
x
2
=
4
x
1,2
=
± 2
 
                   
 
x
2
=
2
x
3,4
=
±
 
2
Insgesamt erhält man also die vier unterstrichenen Lösungen für x.

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Siehe auch

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