Sei f eine Funktion mit zugehörigem Graph Gf. Wie ist f(x) abzuwandeln, damit der neue Graph gegenüber Gf in x-/y-Richtung gestreckt/gestaucht, in x-/y-Richtung verschoben, an der x-/y-Achse gespiegelt ist?

h ( x ) = Gh geht aus Gf hervor durch
f ( x + a ) Verschiebung um |a| Einheiten nach rechts (a < 0) bzw. links (a > 0)
f ( x ) + a Verschiebung um |a| Einheiten nach oben (a > 0) bzw. unten (a < 0)
a · f ( x ), a > 0 Streckung (a > 1) bzw. Stauchung (a < 1) in y-Richtung
− f ( x ) Spiegelung an der x-Achse
f ( a · x ), a > 0 Streckung mit Faktor 1/a in x-Richtung
f ( −x ) Spiegelung an der y-Achse
Beispiel 1
Wie entsteht der Graph von h aus dem Graphen von f? Gib einen passenden Term für h an.
graphik
Lösung: Wie man unten sieht, erhält man den Graphen von h, indem man den Graphen von f zunächst an der x-Achse spiegelt (setze also ein "Minus" vor den Funktionsterm) und anschließend um 2 Einheiten nach links verschiebt (ersetze x durch x + 2).
f ( x)    →    −f(x)    →    −f(x + 2) = h(x)
graphik
Beispiel 2
f
 
x
=
1
3
·
2
x
−
1,5
h
 
x
=
2
x
−
3
+
1
Welche Verschiebung(en)/Streckung(en)/Spiegelung(en) sind am Graphen von f durchzuführen, um den Graphen von h zu erhalten?
Lösung:
- mit Faktor 3 in y-Richtung strecken:
   
 
3
·
1
3
·
2
x
−
1,5
=
2
x
−
4,5
- um 5,5 nach oben verschieben:
   
 
2
x
−
4,5
+
5,5
=
2
x
+
1
- um 3 nach rechts verschieben:
   
 
2
x
−
3
+
1
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Bemerkung: Den letzten Schritt könnte man auch an erster oder zweiter Stelle durchführen. Dagegen sind der erste und der zweite Schritt aufeinander abgestimmt. Vertauscht man sie (also erst nach oben verschieben, dann strecken), erhält man einen anderen Funktionsterm:
          
 
1
3
·
2
x
−
1,5
 
    →    
 
1
3
·
2
x
+
4
 
    →    
 
2
x
+
12

Das folgende Video zeigt ein weiteres Beispiel:
Wie geht Gh aus Gf hervor (verschieben, strecken, spiegeln)
Lernvideo

Wie geht Gh aus Gf hervor (verschieben, strecken, spiegeln)

Kanal: Mathegym
Beispiel 3
f
 
x
=
1
3
·
x
2
−
1,5
h
 
x
=
x
−
3
2
+
1
Welche Verschiebung(en)/Streckung(en)/Spiegelung(en) sind am Graphen von f durchzuführen, um den Graphen von h zu erhalten?
Lösung:
- mit Faktor 3 in y-Richtung strecken:
   
 
3
·
1
3
·
x
2
−
1,5
=
x
2
−
4,5
- um 5,5 nach oben verschieben:
   
 
x
2
−
4,5
+
5,5
=
x
2
+
1
- um 3 nach rechts verschieben:
   
 
x
−
3
2
+
1
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Bemerkung: Den letzten Schritt könnte man auch an erster oder zweiter Stelle durchführen. Dagegen sind der erste und der zweite Schritt aufeinander abgestimmt. Vertauscht man sie (also erst nach oben verschieben, dann strecken), erhält man einen anderen Funktionsterm:
          
 
1
3
·
x
2
−
1,5
 
    →    
 
1
3
·
x
2
+
4
 
    →    
 
x
2
+
12
Siehe auch

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