Satz des Thales:
  • Liegen A, B und C auf einem Kreis und geht [AB] durch den Mittelpunkt, so ist das Dreieck ABC bei C rechtwinklig. Man spricht vom "Thaleskreis" über [AB].
  • Umgekehrt gilt: ist das Dreieck ABC bei C rechtwinklig, so liegt C auf dem Thaleskreis über [AB].
Beispiel 1
Welche der folgenden Dreiecke sind rechtwinklig?
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Lösung:
  • Figur links
Δ ABC ist rechtwinklig, da C auf dem Thaleskreis über [AB] liegt.
Δ BAD ist bei D nicht rechtwinklig, da D nicht auf dem Thaleskreis über [AB] liegt.
  • Figur mitte
Δ ABC könnte bei C rechtwinklig sein - und zwar dann, wenn C auf dem Thaleskreis über [AB] liegt.

Bemerkung: der abgebildete Kreis ist nicht der Thaleskreis über [AB], weil er nicht durch A und B geht. Dass er zufällig durch C geht, tut nichts zur Sache.
  • Figur rechts
Δ CAB könnte bei B rechtwinklig sein - und zwar dann, wenn [CA] durch den Mittelpunkt des Kreises geht; dann wäre der Kreis nämlich der Thaleskreis über [CA].
Beispiel 2
Ermittle durch Konstruktion alle Punkte, von denen aus die beiden Strecken a und b unter einem rechten Winkel erscheinen.
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Lösung: Auf dem Thaleskreis über a liegen alle Punkte, von denen aus a unter einem rechten Winkel erscheint. Auf dem Thaleskreis über b liegen alle Punkte, von denen aus b unter einem rechten Winkel erscheint. Die Schnittpunkte beider Thalskreise (R und S) sind damit die Lösung. Zum besseren Verständnis ist bei R der rechte Winkel durch die orangen Linien verdeutlicht:
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Konstruktionsschritte:
  1. Mittelsenkrechte über a geschnitten mit a ergibt M1
  2. Mittelsenkrechte über b geschnitten mit b ergibt M2
  3. Thaleskreis über a mit Mittelpunkt M1
  4. Thaleskreis über b mit Mittelpunkt M2

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