Der Limes von f(x) für x → ∞ bzw. x → -∞ gibt an, wie sich die Funktion am äußeren rechten/linken Rand des Definitionsbereichs, also für "sehr, sehr große/kleine" x-Werte verhält:

Fall Der Funktionswert Der Graph Limes
Konvergenz ...nähert sich einem Wert c an, d.h. |f(x) − c| wird beliebig klein ...besitzt die waagrechte Asymptote y = c = c
bestimmte Divergenz ...wird beliebig groß bzw. beliebig klein, d.h. er überschreitet/unterschreitet jede noch so große/kleine Marke ...steigt/fällt immer weiter nach oben/unten (nicht zwangsläufig monoton) = ± ∞
unbestimmte Divergenz weder die erste noch die zweite Zeile treffen zu existiert nicht
Beispiel
Bestimme aufgrund der Abbildung:
lim
x
 
 
 
f(x)
 
        
 
lim
x
 
 
 
f(x)
 
        
 
lim
x
 
 
 
g(x)
graphik

Lösung:
lim
x
 
 
 
f(x) = ∞
Begründung: y wird beliebig groß (Graph erreicht jede Höhe), wenn man nur weit genug nach rechts geht.
 
lim
x
 
 
 
f(x) = 0
Begründung: y unterscheidet sich von 0 beliebig wenig (Graph nähert sich der x-Achse y = 0 an), wenn man nur weit genug nach links geht.
 
lim
x
 
 
 
g(x) existiert nicht
Begründung: weder besitzt der Graph eine waagrechte Asymptote noch "verabschiedet er sich Richtung Himmel/Hölle".
Siehe auch

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