Potenzgesetze:
- Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die Basis beibehält.
ap · aq = ap + q - Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert und die Basis beibehält.
ap : aq = ap − q - Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und den Exponenten beibehält.
aq · bq = (a · b)q - Potenzen mit gleichen Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und den Exponenten beibehält.
aq : bq = (a : b)q - Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert.
(ap)q = ap·q
Beispiel 1
Forme, falls möglich, in EINE Wurzel um, in der nur noch positive Exponenten auftreten.
a)
| · |
|
b)
a |
|
c)
|
|
d)
| + |
|
Zu a)
| · |
|
| = |
| Exponenten addieren | ||||||||||
| = |
| |||||||||||
| = |
| |||||||||||
| = |
| |||||||||||
Zu b)
a |
|
| = |
| Exponenten subtrahieren | ||||||||||
| = |
| |||||||||||
| = |
| |||||||||||
Zu c)
|
|
| = |
| Exponenten multiplizieren | |||||||||||||||
| = |
| ||||||||||||||||
| = |
| ||||||||||||||||
| = |
| ||||||||||||||||
Zu d)
| = | ? |
Vorsicht: es handelt sich um eine Summe (Potenzgesetze gelten nicht für Summen und Differenzen), die beiden Summanden lassen sich also nicht zu einer Potenz zusammenfassen. Aber man kann ausklammern:
| + |
|
| = |
| zweiten Summand als Produkt (Potenzgesetz rückwärts) | ||||||||||||||||||
| = |
| jetzt ausklammern | ||||||||||||||||||
| = |
| |||||||||||||||||||
Beispiel 2
Fasse zusammen:
| : |
|
Lösung:
| : |
|
| = |
| alles auf einen Bruchstrich | |||||||||||||||||
| = |
| d-Potenzen multipliziert durch Addition der Exponenten, außerdem mit 7 gekürzt | |||||||||||||||||
| = |
| c-Potenzen dividiert durch Subtraktion der Exponenten | |||||||||||||||||
| = |
| d-Potenz nicht mehr im Nenner, dafür mit negativem Exponent | |||||||||||||||||
Ein noch schwierigeres Beispiel in folgendem Video | : |
Beispiel 3
Fasse jeweils zusammen:
(a) |
|
(b) |
|
Zu (a)
Da die Potenzen dieselbe Basis haben, subtrahiert man die Exponenten:
| = |
| ||||||||||||||||||||||||||||||
| = |
| ||||||||||||||||||||||||||||||
| = |
| ||||||||||||||||||||||||||||||
| = |
| ||||||||||||||||||||||||||||||
| = |
| ||||||||||||||||||||||||||||||
Zu (b)
Da die Potenzen denselben Exponent haben, diviert man die Basen:
| = |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| = |
| kürzen | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| = |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Beispiel 4
| = | 2187 |
| = | 5 |
| = | 1225 |
| = | 9 |
| = | 4096 |
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