Wie verhält sich die ln-Funktion an den Rändern ihres Definitionsbereichs?

ln(x) strebt
  • gegen −∞ für x → 0+
  • gegen ∞ für x → ∞
Beispiel
lim
x → −∞
    
ln
 
1
x
2
x
+
1
=
?

Zunächst betrachtet man nur die Entwicklung des Arguments der ln-Funktion.
lim
x → −∞
    
1
x
2
x
+
1
=
Erläuterung: es handelt sich um eine gebrochen-rationale Funktion, wobei der Zählergrad größer als der Nennergrad ist. Eine solche Funktion wächst für 
x
 
 
 IMMER gegen ∞ oder −∞. Um das richtige Vorzeichen herauszufinden, berachten wir Zähler und Nenner für sehr kleine x-Werte (z.B. -1000) getrennt: im Zähler wird von 1 eine große positive Zahl abgezogen (positiv, das quadratisch), also ist der Zähler negativ. Der Nenner ist ebenfalls negativ. Nach der Regel "Minus:Minus=Plus" kommt man also auf +∞.
Jetzt ist klar, wie sich der Gesamtterm entwickelt:
lim
x → −∞
 
ln
 
1
x
2
x
+
1
=
"
 
ln
 
 
"
=

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