Die Lösungen der quadratische Gleichung x² + px + q = 0 könnnen, falls vorhanden, immer mit der sog. pq-Formel bestimmt werden. Zunächst berechnet man die sog. Diskriminante:

D = (p/2)² − q

Je nachdem, ob D positiv, null oder negativ ist, gibt es genau zwei, genau eine oder gar keine Lösung. Abgesehen vom letzten Fall heißt/heißen die Lösung(en):

x1,2 =-p/2 ± √D

Beispiel
Löse die Gleichung 
x
2
9x
+
2
=
0
.

Die Gleichung liegt bereits in der richtigen Form 
x
2
+
px
+
q
=
0
 vor (d.h. rechts vom "=" steht die Null und links vom "=" steht am Anfang 
x
2
, dahinter …x und dahinter die Konstante).
  • p und q ablesen
p
=
9
 (der Faktor vor 
x
)
q
=
+
2
 (die Konstante)
Beachte: das Rechenzeichen vor den Zahlen ist (als Vorzeichen gedacht) jeweils mitzunehmen!
  • Diskriminante D bestimmen
D
=
p
2
2
q
=
9
2
2
2
=
20,25
2
=
18,25
D > 0 und damit gibt es zwei Lösungen:
  • Lösungen mit pq-Formel bestimmen
x
1,2
=
p
2
 
±
 
D
=
9
2
 
±
 
18,25
=
4,5
 
±
 
18,25
x
1
=
4,5
+
18,25
 
 
8,77
x
2
=
4,5
18,25
 
 
0,23
Bemerkung: Oft setzt man p und q gleich in die vollständige Formel ein, d.h. man rechnet D nicht extra aus. Beim Beispiel oben:
x
1,2
=
p
2
 
±
 
p
2
2
q
=
4,5
 
±
 
4,5
2
2
=
4,5
 
±
 
18,25
=
Weitere Beispiele siehe Video.
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