Die Lösungen der quadratische Gleichung x² + px + q = 0 könnnen, falls vorhanden, immer mit der sog. pq-Formel bestimmt werden. Zunächst berechnet man die sog. Diskriminante:
D = (p/2)² − q
Je nachdem, ob D positiv, null oder negativ ist, gibt es genau zwei, genau eine oder gar keine Lösung. Abgesehen vom letzten Fall heißt/heißen die Lösung(en):
x1,2 =-p/2 ± √D
Beispiel
Löse die Gleichung
.
| = | 0 |
Die Gleichung liegt bereits in der richtigen Form
vor (d.h. rechts vom "=" steht die Null und links vom "=" steht am Anfang
, dahinter …x und dahinter die Konstante).
| = | 0 |
x | 2 |
- p und q ablesen
p | = |
|
x
q | = |
|
Beachte: das Rechenzeichen vor den Zahlen ist (als Vorzeichen gedacht) jeweils mitzunehmen!
- Diskriminante D bestimmen
| = |
| |||||||||||||||
|
| = |
| |||||||||||||||
|
| = |
| |||||||||||||||
|
| = |
| |||||||||||||||
D > 0 und damit gibt es zwei Lösungen:
- Lösungen mit pq-Formel bestimmen
| = |
| |||||||||||||||||||||||
|
| = |
| |||||||||||||||||||||||
|
| = |
| |||||||||||||||||||||||
| = |
| |||||||||||||||||||||||
| = |
| |||||||||||||||||||||||
Bemerkung: Oft setzt man p und q gleich in die vollständige Formel ein, d.h. man rechnet D nicht extra aus. Beim Beispiel oben:
| = |
| ||||||||||||||||||||||||||||||
|
| = |
| ||||||||||||||||||||||||||||||
|
| = |
| ||||||||||||||||||||||||||||||
|
| = |
| ||||||||||||||||||||||||||||||
Weitere Beispiele siehe Video.
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