Was versteht man unter Normalform eines Wurzelterms?

Die Normalform eines Wurzelterms erfüllt zwei Bedingungen:
  1. Die Zahl unter der Wurzel ist quadratfrei, enthält also keinen quadratischen Teiler.
  2. Unter dem Bruchstrich stehen keine Wurzeln.
Beispiel 1
Bringe
 
80
 
in
 
Normalform.
Unter der Wurzel sollten keine Quadrate stehen. 80 enthält die beiden quadratischen Teiler 4 und 16. Man wählt (immer) den größeren und formt um:
80
=
16
·
5
=
16
·
5
Aus der Quadratzahl lässt sich die Wurzel ziehen:
16
·
5
=
4
·
5
Die Normalform von
 
80
 
ist deshalb
 
4
·
5
 
.
Beispiel 2
Bringe
 
1
2
 
in Normalform.
Unter dem Bruchstrich sollte keine Wurzel stehen. Man erreicht dies hier, indem man den Bruch mit √2 erweitert:
1
2
=
2
2
·
2
Jetzt kann man den Nenner zu 2 vereinfachen. Man erhält die Normalform:
1
2
=
2
2
Beispiel 3
Bringe
 
1
3
+
5
 
In Normalform.
Schwieriger ist die Berechnung der Normalform, wenn unter dem Bruchstrich eine Summe (oder Differenz) von Wurzeln steht. Hier ist es die Summe
3
+
5
 
.
In diesem Fall benützt man die 3. binomische Formel, um den Nenner wurzelfrei zu machen:
3
+
5
·
3
−
5
=
3
2
−
5
2
=
3
−
5
Deshalb muss man den ganzen Bruch mit
 
3
−
5
 
erweitern. Man erhält die Normalform:
1
3
+
5
=
3
−
5
3
+
5
·
3
−
5
=
3
−
5
3
−
5
=
3
−
5
−
2
=
−
1
2
·
3
−
5
Siehe auch

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