Wie bestimmt man die allgemeine Funktionsgleichung y=ax²+bx+c einer quadratischen Funktion, wenn man einen der Parameter kennt und der Graph vorliegt?

Eine quadratische Funktion hat die allgemeine Funktionsgleichung y=ax²+bx+c. Gibt man zwei Punkte auf dem Graphen (Schaubild) der Funktion und einen der Parameterwerte a, b oder c vor, lässt sich die Funktionsgleichung bestimmen.

Durch das Einsetzen der zwei Punkte und des Parameterwerts in die Funktionsgleichung y = ax² + bx + c erhält man ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten. Dieses kann mittels Einsetz- oder Subtraktionsverfahren gelöst werden.

Beispiel
Bestimme die Gleichung der Parabel p, die durch die Punkte A und B verläuft.
A
 
2
 
|
 
8
B
 
−
1
 
|
 
1
p:y
=
ax
2
+
bx
+
9
Die zwei Parameter a und b sind unbekannt. Für die zwei Gleichungen setzt man die Punkte in die Parabelgleichung ein.
A
 
2
 
|
 
8
 :
I
    
y
=
ax
2
+
bx
+
9
8
=
a
·
2
2
+
b
·
2
+
9
8
=
4a
+
2b
+
9
−
9
−
1
=
4a
+
2b
B
 
−
1
 
|
 
1
 :
II
    
y
=
ax
2
+
bx
+
9
1
=
a
·
−
1
2
+
b
·
−
1
+
9
1
=
a
−
b
+
9
−
9
−
8
=
a
−
b
Die zwei Gleichungen lauten also:
I
    
−
1
=
4a
+
2b
II
    
−
8
=
a
−
b
Gleichungssystem etwa mit dem Einsetzungsverfahren lösen. Dafür 
II
 nach a auflösen:
II
    
−
8
=
a
−
b
+
b
−
8
+
b
=
a
in 
I
 einsetzen:
I
    
−
1
=
4
·
−
8
+
b
+
2b
−
1
=
−
32
+
4b
+
2b
−
1
=
−
32
+
6b
+
32
31
=
6b
:
6
31
6
=
b
31
6
 wieder in 
II
 eingesetzt ergibt dann a:
−
8
+
b
=
a
−
8
+
31
6
=
a
−
48
6
+
31
6
=
a
−
17
6
=
a
Die Gleichung der Parabel lautet damit:
p:y
=
−
17
6
x
2
+
31
6
x
+
9
Das nachfolgende Video zeigt ein weiteres Beispiel für den Fall, dass a=1 (Normalparabel) vorgegeben ist.
PARABELGLEICHUNG aufstellen mit 2 Punkten – Normalparabel
Lernvideo

PARABELGLEICHUNG aufstellen mit 2 Punkten – Normalparabel

Kanal: MathemaTrick
Siehe auch

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