Gib die Sigmaregeln zu gegebenen Umgebungen um den Erwartungswert und zu ganzzahligen Sicherheitswahrscheinlichkeiten an. Unter welcher Voraussetzung erhält man mit den Sigmaregeln zuverlässige Werte?
Sigmaregeln zu gegebenen Umgebungen um den Erwartungswert:
- ca. 68,3% der Werte von X liegen im Intervall [μ-σ;μ+σ].
- ca. 95,5% der Werte von X liegen im Intervall [μ-2σ;μ+2σ].
- ca. 99,7% der Werte von X liegen im Intervall [μ-3σ;μ+3σ].
Sigmaregeln zu ganzzahligen Sicherheitswahrscheinlichkeiten:
- 90% der Werte von X liegen im Intervall [μ-1,64σ;μ+1,64σ].
- 95% der Werte von X liegen im Intervall [μ-1,96σ;μ+1,96σ].
- 99% der Werte von X liegen im Intervall [μ-2,58σ;μ+2,58σ].
Wenn die Laplace-Bedingung σ > 3 erfüllt ist, erhält man mit den Sigmaregeln zuverlässige Werte.
Beispiel
Eine Münze wird 50-mal geworfen. Die Zufallsgröße X stehe für die Anzahl der geworfenen "Zahlen".
Gib ein Intervall an, in dem sicher 90% der Werte von X liegen.
Lösung:
| ; |
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90% der Werte liegen im Intervall |
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- 1. Schritt: Erwartungswert berechnen
| = |
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| = |
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| = |
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- 2. Schritt: Standardabweichung berechnen
| = |
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| = |
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| = |
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| 3,54 |
Bemerkung: Da σ(X) > 3, liefert die Sigma-Umgebung zuverlässige Werte.
- 3. Schritt: Intervall angeben
| = |
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| = |
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Mit einer Wahrscheinlichkeit 90% liegt die Anzahl der geworfenen "Zahlen" zwischen 19,19 und 30,81. Um auf jeden Fall auf der sicheren Seite zu sein, wird das Intervall nach außen gerundet: Also 19 ≤ X ≤ 31.)
