Sigmaregeln zu gegebenen Umgebungen um den Erwartungswert:

  • ca. 68,3% der Werte von X liegen im Intervall [μ-σ;μ+σ].
  • ca. 95,5% der Werte von X liegen im Intervall [μ-2σ;μ+2σ].
  • ca. 99,7% der Werte von X liegen im Intervall [μ-3σ;μ+3σ].

Sigmaregeln zu ganzzahligen Sicherheitswahrscheinlichkeiten:

  • 90% der Werte von X liegen im Intervall [μ-1,64σ;μ+1,64σ].
  • 95% der Werte von X liegen im Intervall [μ-1,96σ;μ+1,96σ].
  • 99% der Werte von X liegen im Intervall [μ-2,58σ;μ+2,58σ].

Wenn die Laplace-Bedingung σ > 3 erfüllt ist, erhält man mit den Sigmaregeln zuverlässige Werte.

Beispiel
Eine Münze wird 50-mal geworfen. Die Zufallsgröße X stehe für die Anzahl der geworfenen "Zahlen".
Gib ein Intervall an, in dem sicher 90% der Werte von X liegen.

Lösung:
n
=
50
;
p
=
1
2
90% der Werte liegen im Intervall
 
μ
1,64σ
;
μ
+
1,64σ
  • 1. Schritt: Erwartungswert berechnen
μ(X)
=
n
·
p
=
50
·
1
2
=
25
  • 2. Schritt: Standardabweichung berechnen
σ(X)
=
n
·
p
·
1
p
=
50
·
1
2
·
1
2
=
12,5
σ(X)
 
 
3,54
Bemerkung: Da σ(X) > 3, liefert die Sigma-Umgebung zuverlässige Werte.
  • 3. Schritt: Intervall angeben
μ
1,64σ
=
100
1,64
·
3,54
 
 
19,19
μ
+
1,64σ
=
100
+
1,64
·
3,54
 
 
30,81
Mit einer Wahrscheinlichkeit 90% liegt die Anzahl der geworfenen "Zahlen" zwischen 19,19 und 30,81. Um auf jeden Fall auf der sicheren Seite zu sein, wird das Intervall nach außen gerundet: Also 19 ≤ X ≤ 31.)
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