In einer Bernoulli-Kette der Länge n und Treffer-Wahrscheinlichkeit p bezeichne die Zufallsgröße X die Trefferzahl. Dann gilt:

  • Erwartungswert μ(X) =n·p
  • Standardabweichung σ(X) = √ n·p·(1-p)
Beispiel
Eine Münze wird 200-mal geworfen. Die Zufallsgröße X stehe für die Anzahl der geworfenen "Wappen".
Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert innerhalb der 2σ-Umgebung annimmt:
P
 
μ
 
 
X
 
 
μ
+
 
 
?%

Lösung:
n
=
200
;
p
=
1
2
  • 1. Schritt: Erwartungswert berechnen
μ(X)
=
n
·
p
=
200
·
1
2
=
100
  • 2. Schritt: Standardabweichung berechnen
σ(X)
=
n
·
p
·
1
p
=
200
·
1
2
·
1
2
=
50
σ(X)
 
 
7,07
  • 3. Schritt: 2σ-Intervall bestimmen
μ
=
100
2
·
7,07
=
85,86
μ
+
=
100
+
2
·
7,07
=
114,14
  • 4. Schritt: Wahrscheinlichkeit des 2σ-Intervalls bestimmen
Zum Bestimmen der Wahrscheinlichkeit werden nur die Zahlen im INNEREN des Intervalls berücksichtigt. Das bedeutet, dass hier nicht immer mathematisch gerundet wird, sondern es wird IMMER ins Innere des Intervalls gerundet (die untere Grenze wird grundsätzlich aufgerundet, die obere Grenze wird abgerundet):
P
 
μ
 
 
X
 
 
μ
+
=
P
 
86
 
 
X
 
 
114
=
F
200
;
0,5
 
114
F
200
;
0,5
 
85
=
0,98
0,02
=
0,96
 
 
96%
Zum Vergleich: Die Sigma-Regeln besagen, dass ca. 95,5% der Werte im Intervall
 
μ
;
μ
+
 
liegen.

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