Exponentielles Wachstum: was bleibt gleich, welche Fragestellungen sind üblich und wie geht man bei diesen vor?

Exponentielles Wachstum:
Zunahme pro Zeitschritt ist - prozentual - immer gleich, d.h.
B(n + 1) = B(n) · k.

  • B(n) gesucht:
    • Den Bestand nach n Zeitschritten berechnet man mithilfe der Formel:
    B(n) = B(0) · kn

  • n gesucht:
    • Ist n gesucht, löst man die Formel nach n auf:
    B(n) = B(0) · kn | : B(0)
    B(n) / B(0) = kn | log
    log( B(n) / B(0) ) = log( kn)
    log( B(n) / B(0) ) = n · log( k ) | : log( k )
    n = log( B(n) / B(0) ) / log( k )

  • B(0) gesucht:
    • Ist B(0) gesucht, löst man die Formel nach B(0) auf:
    B(n) = B(0) · kn | : kn
    B(0) = B(n) / kn

  • k gesucht:
    Ist k gesucht, löst man die Formel nach k auf:
    B(n) = B(0) · kn | : B(0)
    B(n) / B(0) = kn
    Zuletzt zieht man noch die n-te Wurzel
Beispiel 1
Ein Kapital von 2000 € vermehrt sich auf einem Sparkonto pro Jahr um 0,1%.
Nach 8 Jahren beträgt das Kapital auf dem Konto:
?
 
Euro
 
?
 
Cent
B(0)
=
2000
n
=
8
k
=
1
+
p
=
1
+
0,001
=
1,001
B(n)
=
B(0)
·
k
n
B(8)
=
2000
·
1,001
8
 
≈
 
2016,05611214
B(8)
 
≈
 
2016,06
Nach 8 Jahren befinden sich 2016 Euro und 6 Cent auf dem Sparkonto.
Beispiel 2
Ein Guthaben von 5000 € wird mit 3,7% verzinst. Nach wie vielen Jahren ist es auf 8000 € angewachsen?
Nach ? Jahren beträgt das Guthaben 8000 €.
B(0)
=
5000
k
=
1
+
p
=
1
+
0,037
B(n)
=
8000
B(n)
=
B(0)
·
k
n
8000
=
5000
·
1,037
n
:
5000
1,6
=
1,037
n
log
log(1,6)
=
log
 
1,037
n
log(1,6)
=
n
·
log(1,037)
:
log(1,037)
log(1,6)
log(1,037)
=
n
n
 
≈
 
12,93637962
Gerundet auf die 2. Dezimale:
n
 
≈
 
12,94
n liegt zwischen 12 und 13. Nach 12 Jahren beträgt das Kapital noch nicht ganz 8000 €. Nach 13 Jahren ist das Guthaben auf etwas mehr als 8000 € angewachsen.
B(12) ≈ 7732,41 €
B(13) ≈ 8018,51 €
Zur Beantwortung der Aufgabe wird auf Ganze gerundet:
Das heißt, dass das Anfangskapital nach 13 Jahren auf 8000 € angewachsen sein wird.
Siehe auch

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