Gauß-Verfahren

Ein lineares Gleichungssystem kann übersichtlich gelöst werden, indem man es zunächst auf Stufenform bringt. Dies bezeichnet man als Gauß-Verfahren.

Dabei sind folgende Umformungen zugelassen:

  • Zwei Gleichungen werden miteinander vertauscht.
  • Eine Gleichung wird mit einer von Null verschiedenen Zahl multipliziert.
  • Eine Gleichung wird durch die Summe/Differenz von ihr und einer anderen Gleichung des Systems ersetzt.

Wenn man etwas Übung hat, können auch mehrere dieser Schritte gleichzeitig durchgeführt werden.

Wenn man das lineare Gleichungssystem auf Stufenform gebracht hat, löst man die Gleichungen schrittweise nach den gegebenen Variablen auf.

Es ist ganz wichtig, dass du das Gauß-Verfahren verstehst, damit du beim Lösen von Gleichungssystemen mit dem GTR in der Lage bist, die Taschenrechner-Anzeige korrekt interpretieren zu können.

Beispiel 1
Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren:
2x
1
 
 
4x
1
 
3x
2
+
2x
2
+
2x
2
 
x
3
+
3x
3
+
3x
3
 
=
1
 
=
1
 
=
6
 
x
1
=
?
x
2
=
?
x
3
=
?

Lösung:
  • Umformung des Gleichungssystems in Stufenform:
Folgendes Gleichungssystem ist zu lösen:
2x
1
 
 
4x
1
 
3x
2
+
2x
2
+
2x
2
 
x
3
+
3x
3
+
3x
3
 
=
1
 
=
1
 
=
6
 
Die ersten beiden Gleichungen können unverändert beibehalten werden. Eliminiert man aus der dritten Gleichung x1 und x2, so ist die Stufenform fertig.
Um x1 zu eliminieren, wird z.B. die erste Gleichung mit (−2) multipliziert. Dies liefert:
I'
=
2
·
I
 
:
 
 
 
4x
1
+
6x
2
+
2x
3
=
2
Dies war ein kluger Schritt, da der Koeffizient von x1 in der neuen Gleichung −4 ist. Addiert man nun die neue Gleichung zur dritten Gleichung, fällt x1 ganz weg. Hier ist die schrittweise Addition gezeigt:
4x
1
+
4x
1
=
0
6x
2
+
2x
2
=
8x
2
2x
3
+
3x
3
=
5x
3
2
+
6
=
4
Wenn im Gleichungssystem die dritte Gleichung durch die Summe aus der dritten und der mit −2 multiplizierten ersten Gleichung ersetzt wird, erhält man also:
2x
1
 
 
 
 
 
3x
2
+
2x
2
+
8x
2
 
x
3
+
3x
3
+
5x
3
 
=
1
 
=
1
 
=
4
 
Um vollständige Stufenform zu erhalten, muss nun noch x2 aus der letzten Gleichung eliminiert werden. Dazu wird die neue dritte Gleichung nochmals ersetzt, indem das (−4)-fache der zweiten Gleichung addiert wird, denn:
II'
=
4
·
II
 
:
 
 
 
 
 
8x
2
12x
3
=
4
Die schrittweise Addition liefert:
8x
2
+
8x
2
=
0
12x
3
+
5x
3
=
7x
3
4
+
4
=
0
Damit sieht das Gleichungssystem in Stufenform folgendermaßen aus:
2x
1
 
 
 
 
 
3x
2
+
2x
2
 
 
 
x
3
+
3x
3
7x
3
 
=
1
 
=
1
 
=
0
 
  • Lösung des Gleichungssystems:
Aus der dritten Gleichung ergibt sich nun direkt:
x
3
=
0
Eingesetzt in die zweite Gleichung ergibt sich:
2x
2
+
3
·
0
=
1
:
2
x
2
=
1
2
Eingesetzt in die erste Gleichung ergibt sich:
2x
1
3
·
1
2
0
=
1
+
3
2
2x
1
=
5
2
:
2
x
1
=
5
4
  • Angabe der Lösung:
Die Lösung des Gleichungssystems wird manchmal als 3-Tupel
 
5
4
;
1
2
;
0
oder als Lösungsvektor
 
x
=
5
4
1
2
0
 
angegeben.
Beispiel 2
Löse folgendes Gleichungssystem mit dem GTR:
2x
1
 
 
4x
1
 
3x
2
+
2x
2
+
2x
2
 
x
3
+
3x
3
+
3x
3
 
 
 
=
1
 
 
=
1
 
 
=
6
 
x
1
=
?
x
2
=
?
x
3
=
?

Lösung:
  • Lösung des Gleichungssystems mit dem GTR:
Zu lösen ist folgendes Gleichungssystem:
2x
1
 
 
4x
1
 
3x
2
+
2x
2
+
2x
2
 
x
3
+
3x
3
+
3x
3
 
 
 
=
1
 
 
=
1
 
 
=
6
 
Der GTR wird dir im Display als Lösung des Gleichungssystems folgende Lösungs-Matrix anzeigen:
1
0
0
 
 
 
 
0
1
0
 
 
 
 
0
0
1
 
 
 
 
 
1,25
0,5
0
  • Interpretation der Anzeige:
Im Display sind in den ersten drei Spalten die Koeffizienten von x1, x2 und x3 der drei Gleichungen zu sehen. Die vierte Spalte enthält die Ergebnisse (rechte Seite der Gleichungen). Wird die Lösungs-Matrix aus dem Display in ein Gleichungssystem umgeschrieben, ergibt sich:
1x
1
0x
1
0x
1
 
+
0x
2
+
1x
2
+
0x
2
 
+
0x
3
+
0x
3
+
1x
3
 
 
 
=
1,25
 
 
=
0,5
 
 
=
0
 
bzw.
x
1
 
 
 
 
 
 
 
x
2
 
 
 
 
 
 
 
x
3
 
 
 
=
1,25
 
 
=
0,5
 
 
=
0
 
  • Angabe der Lösung:
Die Lösung des Gleichungssystems wird manchmal als 3-Tupel
 
5
4
;
1
2
;
0
 
bzw.
 
1,25
;
0,5
;
0
oder als Lösungsvektor
 
x
=
5
4
1
2
0
 
bzw.
 
x
=
1,25
0,5
0
 
angegeben.
  • Erklärung und Vertiefung:
Im letzten Beispiel hatten wir das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren bereits in Stufenform gebracht:
2x
1
 
 
 
 
 
3x
2
+
2x
2
 
 
 
x
3
+
3x
3
7x
3
 
 
 
=
1
 
 
=
1
 
 
=
0
 
Der GTR löst das Gleichungssystem im Gauß-Verfahren weiter, bis es nicht nur Stufenform hat, sondern sogar eine Einheitsmatrix auf der linken Seite (Eintrag 1 in der Diagonale, ansonsten 0):
2x
1
 
 
 
 
 
3x
2
+
2x
2
 
 
 
x
3
+
3x
3
7x
3
 
 
 
=
1
 
 
=
1
 
 
=
0
 
Dritte Gleichung durch −7 dividieren und Lösung für x3 in die anderen Gleichungen einsetzen:
2x
1
 
 
 
 
 
3x
2
+
2x
2
 
 
 
0
 
+
3
·
0
 
+
x
3
 
 
 
=
1
 
 
=
1
 
 
=
0
 
Zweite Gleichung durch 2 dividieren und Lösung für x2 in die erste Gleichung einsetzen:
2x
1
 
 
 
 
 
3
·
0,5
 
+
x
2
 
 
 
0
 
 
 
+
x
3
 
 
 
=
1
 
 
=
0,5
 
 
=
0
 
Erste Gleichung nach x1 auflösen:
x
1
 
 
 
 
 
 
 
x
2
 
 
 
 
 
 
 
x
3
 
 
 
=
1,25
 
 
=
0,5
 
 
=
0
 
Dies ist das vollständig gelöste Gleichungssystem, wie es der Lösungs-Matrix des GTR entspricht.

Mathe-Aufgaben zu diesem Thema

Online-Übungen, die du direkt im Browser bearbeiten und lösen kannst!

Online-Übungen und Aufgaben

Online üben und motiviert lernen?

Jetzt unsere Online-Übungen ausprobieren!

  • Keine Registrierung erforderlich!
  • Aufgaben direkt im Browser bearbeiten und lösen.
  • Für die Fächer Mathematik, Latein, Englisch, Chemie und Physik.
Zum Aufgabenbereich