Inverse Matrix
Die inverse Matrix zu einer quadratischen Matrix U wird mit U−1 bezeichnet.
Das Produkt aus einer Matrix und ihrer Inversen ergibt die Einheitsmatrix, die in der Diagonale die Einträge 1 und ansonsten nur die Einträge 0 besitzt.
Mit einer inversen Matrix können Zustandsverteilungen in der Vergangenheit berechnet werden, denn aus vk+1 = U · vk folgt: vk = U−1 · vk+1
Beispiel
Ein stochastischer Prozess zwischen drei Zuständen ist durch folgende Übergangsmatrix gegeben:
U | = |
|
| sei die Zustandsverteilung nach k Schritten. |
Ist-Zustand: 15% in Zustand A, 48% in Zustand B, 37% in Zustand C
Bestimme mit Hilfe der inversen Matrix die Zustandsverteilung einen Schritt vorher.
Lösung:
- Bestimmung der gegebenen Zustandsverteilung:
Ist-Zustand, wir nennen ihn Zustand 1: 15% in Zustand A, 48% in Zustand B, 37% in Zustand C, daher:
| = |
|
- Zusammenhang der gegebenen und gesuchten Zustandsverteilung:
Allgemein gilt:
| = |
|
Und daher:
| = |
|
| (Zustandsverteilung einen Schritt vorher) setzen wir Variablen ein. Das ergibt: |
| = |
|
- Aufstellen und Lösen der Umkehr-Gleichung:
Die Umkehrgleichung lautet:
| = |
|
Der GTR liefert:
| = |
|
| = |
|
Einen Schritt vorher waren 50% in Zustand A, 20% in Zustand B und 30% in Zustand C.
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