Lösungsmengen von Gleichungssystemen

Ein lineares Gleichungssystem kann unterschiedliche Lösungsmengen besitzen:

Das Gleichungssystem hat...

  • genau eine Lösung: Bei der Umformung in Stufenform bleiben alle Variablen erhalten bzw. bei der Lösung mit dem GTR entsteht am Display bis auf die letzte Spalte eine Einheitsmatrix (Diagonaleinträge 1, restliche Einträge 0), in der letzten Spalte steht die Lösung des Gleichungssystems.
  • keine Lösung: bei den Umformungen in Stufenform ergibt sich irgendwann ein Widerspruch (0x3=1) bzw. am Display des GTR erscheinen in der untersten Zeile nur Nullen BIS AUF DEN LETZTEN Eintrag, der von Null verschieden ist.
  • unendlich viele Lösungen: bei den Umformungen in Stufenform ergibt sich eine allgemein gültige Gleichung (0x3=0) bzw. am Display des GTR sind ALLE Einträge der untersten Zeile gleich Null.
Beispiel 1
Bestimme die Lösungsmenge folgender Gleichungssysteme mit dem Gaußverfahren:
5x
1
5x
1
10x
1
 
x
2
+
x
2
+
2x
2
 
+
4x
3
+
x
3
8x
3
 
=
5
 
 
 
=
11
 
 
 
=
8
 
 
 
 
          
 
2x
1
4x
1
 
 
 
5x
2
9x
2
2x
2
 
+
2x
3
 
 
+
8x
3
 
=
7
 
 
 
=
15
 
 
 
=
2
 
 
 

Lösung:
  • Lösung des ersten Gleichungssystems:
Folgendes Gleichungssystem ist zu lösen und wird in Stufenform umgewandelt:
5x
1
5x
1
10x
1
 
x
2
+
x
2
+
2x
2
 
+
4x
3
+
x
3
8x
3
 
=
5
 
 
 
=
11
 
 
 
=
8
 
 
 
x1 aus der zweiten Gleichung eliminieren: ersetze die zweite Gleichung durch die Differenz aus zweiter und erster Gleichung (II - I):
5x
1
5x
1
=
0
x
2
x
2
=
2x
2
x
3
4x
3
=
3x
3
11
5
=
6
x1 aus der dritten Gleichung eliminieren: ersetze die dritte Gleichung durch die Summe aus dritter und mit 2 multiplizierter erster Gleichung (III + 2I):
10x
1
+
2
·
5x
1
=
0
2x
2
+
2
·
x
2
=
0
8x
3
+
2
·
4x
3
=
0
8
+
2
·
5
=
2
5x
1
 
 
 
 
 
x
2
 
 
2x
2
 
 
 
+
4x
3
3x
3
 
 
0x
3
 
=
5
 
 
 
=
6
 
 
 
=
2
 
 
 
Die Stufenform ist fertig und aus der dritten Gleichung ist zu sehen, dass dieses Gleichungssystem unlösbar ist. Denn es gibt keine Zahl, die man für x3 einsetzen kann, so dass die dritte Gleichung wahr wird. Die Lösungsmenge ist daher die leere Menge:
L
=
 
{ }
  • Lösung des zweiten Gleichungssystems:
Folgendes Gleichungssystem ist zu lösen und wird in Stufenform umgewandelt:
2x
1
4x
1
 
 
 
5x
2
9x
2
2x
2
 
+
2x
3
 
 
+
8x
3
 
=
7
 
 
 
=
15
 
 
 
=
2
 
 
 
Um x1 aus der zweiten Gleichung zu eliminieren, wird das Doppelte der ersten Gleichung von der zweiten Gleichung subtrahiert (II - 2I):
4x
1
2
·
2x
1
=
0
9x
2
2
·
5x
2
=
1x
2
0x
3
2
·
2x
3
=
4x
3
15
2
·
7
=
1
2x
1
 
 
 
 
 
5x
2
 
 
x
2
2x
2
 
+
2x
3
4x
3
+
8x
3
 
=
7
 
 
 
=
1
 
 
 
=
2
 
 
 
Um x2 aus der dritten Gleichung zu eliminieren, wird das Doppelte der zweiten Gleichung zur dritten Gleichung addiert (III + 2II):
2x
2
+
2
·
1x
2
=
0
8x
3
+
2
·
4x
3
=
0
2
+
2
·
1
=
0
2x
1
 
 
 
 
 
5x
2
 
 
x
2
 
 
 
+
2x
3
4x
3
0x
3
 
=
7
 
 
 
=
1
 
 
 
=
0
 
 
 
Die Stufenform ist fertig und aus der dritten Gleichung ist zu sehen, dass dieses Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. Denn egal welche Zahl man für x3 einsetzt, die dritte Gleichung ist immer wahr.
  • Angabe der Lösung:
Da für x3 jede beliebige Zahl (in der letzten Gleichung) eingesetzt werden kann, wählen wir für x3 einen Parameter:
x
3
=
t
Setze x3 = t in die zweite Gleichung ein:
x
2
4t
=
1
+
4t
x
2
=
1
+
4t
Setze x2 und x3 in die erste Gleichung ein:
2x
1
5
·
1
+
4t
+
2t
=
7
2x
1
5
20t
+
2t
=
7
+
5
2x
1
18t
=
12
+
18t
2x
1
=
12
+
18t
:
2
x
1
=
6
+
9t
Alle Tupel der Form
 
6
+
9t
;
1
+
4t
;
t
 
sind Lösung des Gleichungssystems, wobei für t eine beliebige relle Zahl eingesetzt werden darf. Formal schreibt man:
L
=
 
{
 
6
+
9t
;
1
+
4t
;
t
 
|
 
t
 
∈ ℜ
 
}
Beispiel 2
Bestimme die Lösungsmenge folgender Gleichungssysteme mit dem GTR:
+
5x
1
+
5x
1
10x
1
 
x
2
+
x
2
+
2x
2
 
+
4x
3
+
x
3
8x
3
 
 
 
 
=
5
 
 
=
11
 
 
=
8
 
          
 
2x
1
4x
1
 
 
 
5x
2
9x
2
2x
2
 
+
2x
3
 
 
+
8x
3
 
 
 
=
7
 
 
=
15
 
 
=
2
 

Lösung:
  • Lösung des ersten Gleichungssystems:
Folgendes Gleichungssystem ist zu lösen und wird in den GTR eingegeben:
+
5x
1
+
5x
1
10x
1
 
x
2
+
x
2
+
2x
2
 
+
4x
3
+
x
3
8x
3
 
 
 
 
=
5
 
 
=
11
 
 
=
8
 
Der GTR zeigt dir im Display als Lösung des Gleichungssystems folgende Lösungs-Matrix an:
1
0
0
 
 
 
 
 
 
 
0
1
0
 
 
 
 
 
 
 
0,5
1,5
0
 
 
 
 
 
 
 
0
0
1
Ein Blick auf die letzte Zeile der Matrix zeigt, dass dieses Gleichungssystem unlösbar ist. Denn die dritte Zeile übersetzt in eine Gleichung lautet:
0x
1
+
0x
2
+
0x
3
=
1
Diese Gleichung führt immer zu einer unwahren Aussage, da jede Zahl mit 0 multipliziert 0 ergibt. Abgekürzt steht hier also folgende falsche Aussage:
0
=
1
Die Lösungsmenge ist daher die leere Menge:
L
=
 
{ }
  • Erklärung und Vertiefung:
Im Fall eines nicht-lösbaren Gleichungssystems entsteht am Display des GTR keine Einheitsmatrix im Koeffizienten-Teil. Dennoch vereinfacht der GTR die Gleichungen soweit wie möglich, so dass möglichst viele Einträge 0 entstehen und die Diagonal-Einträge auf 1 vereinfacht werden. Im vorherigen Beispiel hatten wir das Gleichungssystem bereits auf folgende Stufenform gebracht:
5x
1
 
 
 
 
 
x
2
+
2x
2
 
 
 
+
4x
3
3x
3
+
0x
3
 
 
 
=
5
 
 
=
6
 
 
=
2
 
Um die Diagonal-Einträge auf 1 umzurechnen, wird die erste Gleichung durch 5 und die zweite Gleichung durch 2 dividiert. Außerdem kann die letzte Gleichung durch 2 dividiert werden. Damit entsteht folgendes Gleichungssystem:
1x
1
 
 
 
 
 
0,2x
2
+
1x
2
 
 
 
+
0,8x
3
1,5x
3
+
0x
3
 
 
 
=
1
 
 
=
3
 
 
=
1
 
Die letzte Gleichung hilft, weitere Nullen zu erzeugen: I − III und II − 3·III liefert:
1x
1
 
 
 
 
 
0,2x
2
+
1x
2
 
 
 
+
0,8x
3
1,5x
3
+
0x
3
 
 
 
=
0
 
 
=
0
 
 
=
1
 
Wird die zweite Gleichung durch 5 dividiert und zur ersten addiert, so entsteht eine weitere Null in der ersten Zeile. I + 1/5·II liefert:
1x
1
 
 
 
 
 
 
 
1x
2
 
 
 
+
0,5x
3
1,5x
3
+
0x
3
 
 
 
=
0
 
 
=
0
 
 
=
1
 
Dies ist das vollständig gelöste Gleichungssystem, wie es der Lösungs-Matrix des GTR entspricht.
  • Lösung des zweiten Gleichungssystems:
Folgendes Gleichungssystem ist zu lösen und wird in den GTR eingegeben:
2x
1
4x
1
 
 
 
5x
2
9x
2
2x
2
 
+
2x
3
 
 
+
8x
3
 
 
 
=
7
 
 
=
15
 
 
=
2
 
Der GTR zeigt dir im Display als Lösung des Gleichungssystems folgende Lösungs-Matrix an:
1
0
0
 
 
 
 
 
 
 
0
1
0
 
 
 
 
 
 
 
9
4
0
 
 
 
 
 
 
 
6
1
0
In der letzten Zeile ist zu sehen, dass dieses Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. Denn die dritte Zeile übersetzt in eine Gleichung lautet:
0x
1
+
0x
2
+
0x
3
=
0
Diese Gleichung führt immer zu einer wahren Aussage, da jede Zahl mit 0 multipliziert 0 ergibt. Abgekürzt steht hier also folgende allgemeingültige Aussage:
0
=
0
  • Angabe der Lösung:
Da für x3 jede beliebige Zahl (in der letzten Gleichung) eingesetzt werden kann, wählen wir für x3 einen Parameter:
x
3
=
t
Setze x3 = t in die zweite Gleichung ein:
x
2
4t
=
1
+
4t
x
2
=
1
+
4t
Setze x3 = t in die erste Gleichung ein:
1x
1
9t
=
6
+
9t
x
1
=
6
+
9t
Alle Tupel der Form
 
6
+
9t
;
1
+
4t
;
t
 
sind Lösung des Gleichungssystems, wobei für t eine beliebige relle Zahl eingesetzt werden darf. Formal schreibt man:
L
=
 
{
 
6
+
9t
;
1
+
4t
;
t
 
|
 
t
 
∈ ℜ
 
}
  • Erklärung und Vertiefung:
Im Fall eines nicht eindeutig lösbaren Gleichungssystems entsteht am Display des GTR keine Einheitsmatrix im Koeffizienten-Teil. Dennoch vereinfacht der GTR die Gleichungen soweit wie möglich, so dass möglichst viele Einträge 0 entstehen und die Diagonal-Einträge auf 1 vereinfacht werden. Im vorherigen Beispiel hatten wir das Gleichungssystem bereits auf folgende Stufenform gebracht:
2x
1
 
 
 
 
 
5x
2
+
1x
2
 
 
 
+
2x
3
4x
3
+
0x
3
 
 
 
=
7
 
 
=
1
 
 
=
0
 
Um auch den ersten Diagonal-Eintrag auf 1 umzurechnen, wird die erste Gleichung durch 2 dividiert. Damit entsteht folgendes Gleichungssystem:
1x
1
 
 
 
 
 
2,5x
2
+
1x
2
 
 
 
+
1x
3
4x
3
+
0x
3
 
 
 
=
3,5
 
 
=
1
 
 
=
0
 
Multipliziert man Gleichung II mit 2,5 und addiert sie zu Gleichung I, so vereinfacht sich das Gleichungssystem noch zu:
1x
1
 
 
 
 
 
 
 
1x
2
 
 
 
9x
3
4x
3
+
0x
3
 
 
 
=
6
 
 
=
1
 
 
=
0
 
Dies ist das vollständig gelöste Gleichungssystem, wie es der Lösungs-Matrix des GTR entspricht.

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