Wann verwendet man in der Mathematik die Formulierung "...genau dann..., wenn..."? Wie verhält es sich mit dem Wahrheitsgehalt von Satz und Kehrsatz im Allgemeinen?

Mathematische Aussagen sind entweder wahr oder falsch. Für den Wahrheitsgehalt von Satz und zugehörigem Kehrsatz sind alle Fälle möglich:
  • Satz und Kehrsatz sind wahr.
  • Der Satz ist wahr, sein Kehrsatz aber falsch.
  • Der Satz ist falsch, sein Kehrsatz aber wahr.
  • Satz und Kehrsatz sind falsch.
Beachte: Insbesondere folgt aus einem wahren Satz nicht, dass auch der Kehrsatz richtig ist!

Wenn ein Satz und sein zugehöriger Kehrsatz wahr sind, verwendet man in der Mathematik oft die Formulierung "...genau dann..., wenn...".
Beispiel: Ein Viereck ist ganau dann eine Raute, wenn sie vier gleich lange Seiten besitzt.
Beispiel
Beurteile, ob der folgende Satz und sein zugehöriger Kehrsatz wahr oder falsch sind:
"Jedes Quadrat besitzt vier gleich lange Seiten."
Satz in der Wenn-Dann-Form: "Wenn ein Viereck ein Quadrat ist, besitzt es vier gleich lange Seiten."
Kehrsatz in der Wenn-Dann-Form: "Wenn ein Viereck vier gleich lange Seiten besitzt, ist es ein Quadrat."
Kehrsatz in der Kurzform: "Jedes Viereck mit vier gleich langen Seiten ist ein Quadrat."
Der Satz ist wahr. Der Kehrsatz ist jedoch falsch, weil eine Raute ohne rechte Winkel ebenfalls vier gleich lange Seiten besitzt, aber kein Quadrat ist.

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