Wozu dient der Heron-Algorithmus und wie funktioniert er?

Der Heron-Algorithmus ist ein Verfahren, mit dem sich √a, also die Wurzel von a für a∈Q+, mit zunehmender Genauigkeit bestimmen lässt.

  1. Man startet am besten mit einer Zahl x1, deren Quadrat in etwa a entspricht. Teilt man a durch diesen Startwert x1, so erhält man eine Zahl y1, die zusammen mit x1 das Intervall absteckt, in dem √a liegt.
  2. Man rechnet nun die Mitte dieses Intervalls aus, also ½·(x1+y1), und fährt mit diesem neuen Wert (= x2) in dem Algorithmus fort.
Die dabei entstehenden Intervalle, die alle √a enthalten, werden immer kleiner und die Abschätzung somit immer ganauer.
Beispiel
Bestimme 
5
 auf drei Dezimalstellen genau.
Lösung mit dem Heron-Algorithmus:
−
−
−
Erster Durchlauf
−
−
−
x
1
=
2
y
1
=
5
x
1
=
2,5
5
 
∈
 
[2 ; 2,5]
−
−
−
Zweiter Durchlauf
−
−
−
x
2
=
1
2
·
x
1
+
y
1
=
2,25
y
2
=
5
x
2
=
2,
2
5
 
∈
 
[2,
2
; 2,25]
−
−
−
Dritter Durchlauf
−
−
−
x
3
=
1
2
·
x
2
+
y
2
=
2,236
1
y
3
=
5
x
3
=
2,2360…
5
 
∈
 
[2,2360… ; 2,236
1]
Damit ist die geforderte Genauigkeit gegeben, d.h. 
5
=
2,236…
.

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