Was ist eine zentrische Streckung, welche Eigenschaften haben Figur und Bildfigur und was sagt der Streckungsfaktor k aus?
Zentrische Streckung
Die Zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung. Eine Figur wird im gegebenen Verhältnis vergrößert oder verkleinert (oder bleibt gleich). Dabei gilt:
- Alle Streckenpaare von Urfigur und Bildfigur sind jeweils parallel (oder identisch).
- Streckungszentrum Z, Urpunkt und Bildpunkt liegen auf einer Geraden (hilfreich für die Konstruktion!).
- Die Form der Figur verändert sich nicht, insbesondere bleiben alle Winkelmaße gleich groß.
- Der Streckungsfaktor k gibt das Maß der Vergrößerung/Verkleinerung an und berechnet sich als Quotient aus Bildstreckenlänge und Ausgangsstreckenlänge, z.B. |k |=| ZA'| : |ZA|.
Was uns der Streckfaktor k sagt...:
- k positiv ⇒ Urfigur und Bildfigur liegen auf derselben Seite von Z.
- k negativ ⇒ Urfigur und Bildfigur liegen auf unterschiedlichen Seiten von Z.
- |k| > 1 ⇒ Bildfigur ist vergrößert.
- |k| < 1 ⇒ Bildfigur ist verkleinert.
- Bildstrecke ist |k| - fach so lang wie die Ursprungsstrecke.
- Flächeninhalt der Bildfigur ist k2 so groß wie Flächeninhalt der Urfigur.
Beispiel 1
Die blaue Figur ist aus der roten Figur durch eine zentrische Streckung entstanden. Zeichne die Figuren in ein Koordinatensystem und ermittle das Streckungszentrum Z und den Streckungsfaktor k.
Z |
|
k=?
- Streckungszentrum Z:
Zeichnet man Hilfslinien durch die einander entsprechenden Eckpunkte der zwei Dreiecke, schneiden sich diese in einem Punkt, dem Streckungszentrum Z. Aus der Zeichnung liest man ab:
|
- Streckungsfaktor k:
Um den Streckungsfaktor zu berechnen, teilt man die Länge einer Seite des blauen Dreiecks durch die Länge der entsprechenden Seite des roten Dreiecks:
| = | 0,5 |
k | = |
|
Beispiel 2
Strecke das Viereck ABCD am Streckungszentrum Z mit Streckungsfaktor k.
A |
|
B |
|
C |
|
D |
|
Streckungszentrum:
Z |
|
Streckfaktor:
k=2.
Gib die Koordinaten der gestreckten Figur an.
Zeichne die Figur mit den angegebenen Koordinaten und das Streckungszentrum in ein Koordinatensystem ein.
Zeichne eine Hilfslinie vom Streckungszentrum Z durch den Eckpunkt A der Urfigur.
Miss die Länge der Strecke
.
ZA
|
Trage von Z aus das Doppelte dieser Länge an der Hilfslinie ab (allgemein: das |k|-fache). Markiere den Bildpunkt A'.
Wiederhole das Vorgehen für alle Eckpunkte der Urfigur und verbinde die Bildpunkte der Reihe nach.
Die Koordinaten der Bildfigur sind:
A' |
|
B' |
|
C' |
|
D' |
|
Siehe auch
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