Zentrische Streckung

Die Zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung. Eine Figur wird im gegebenen Verhältnis vergrößert oder verkleinert (oder bleibt gleich). Dabei gilt:

  • Alle Streckenpaare von Urfigur und Bildfigur sind jeweils parallel (oder identisch).
  • Streckungszentrum Z, Urpunkt und Bildpunkt liegen auf einer Geraden (hilfreich für die Konstruktion!).
  • Die Form der Figur verändert sich nicht, insbesondere bleiben alle Winkelmaße gleich groß.
  • Der Streckungsfaktor k gibt das Maß der Vergrößerung/Verkleinerung an und berechnet sich als Quotient aus Bildstreckenlänge und Ausgangsstreckenlänge, z.B. |k |=| ZA'| : |ZA|.

Was uns der Streckfaktor k sagt...:

  • k positiv ⇒ Urfigur und Bildfigur liegen auf derselben Seite von Z.
  • k negativ ⇒ Urfigur und Bildfigur liegen auf unterschiedlichen Seiten von Z.
  • |k| > 1 ⇒ Bildfigur ist vergrößert.
  • |k| < 1 ⇒ Bildfigur ist verkleinert.
  • Bildstrecke ist |k| - fach so lang wie die Ursprungsstrecke.
  • Flächeninhalt der Bildfigur ist k2 so groß wie Flächeninhalt der Urfigur.

Beispiel 1
Die blaue Figur ist aus der roten Figur durch eine zentrische Streckung entstanden. Zeichne die Figuren in ein Koordinatensystem und ermittle das Streckungszentrum Z und den Streckungsfaktor k.
graphik
Z
 
?
 
|
 
?
.
k=?

graphik
  • Streckungszentrum Z:
Zeichnet man Hilfslinien durch die einander entsprechenden Eckpunkte der zwei Dreiecke, schneiden sich diese in einem Punkt, dem Streckungszentrum Z. Aus der Zeichnung liest man ab:
Z
 
4
 
|
 
2
.
  • Streckungsfaktor k:
Um den Streckungsfaktor zu berechnen, teilt man die Länge einer Seite des blauen Dreiecks durch die Länge der entsprechenden Seite des roten Dreiecks:
A'B'
 
:
 
AB
=
3:6
=
0,5
k
=
0,5
Beispiel 2
Strecke das Viereck ABCD am Streckungszentrum Z mit Streckungsfaktor k.
A
 
1
 
|
 
0
B
 
3
 
|
 
1
C
 
2
 
|
 
1
D
 
1
 
|
 
4
Streckungszentrum:
Z
 
2
 
|
 
2
Streckfaktor:
k=2.
Gib die Koordinaten der gestreckten Figur an.

Zeichne die Figur mit den angegebenen Koordinaten und das Streckungszentrum in ein Koordinatensystem ein.
Zeichne eine Hilfslinie vom Streckungszentrum Z durch den Eckpunkt A der Urfigur.
graphik
Miss die Länge der Strecke 
ZA
.
Trage von Z aus das Doppelte dieser Länge an der Hilfslinie ab (allgemein: das |k|-fache). Markiere den Bildpunkt A'.
graphik
Wiederhole das Vorgehen für alle Eckpunkte der Urfigur und verbinde die Bildpunkte der Reihe nach.
graphik
Die Koordinaten der Bildfigur sind:
A'
 
4
 
|
 
2
B'
 
8
 
|
 
0
C'
 
6
 
|
 
0
D'
 
0
 
|
 
6
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